对于 t = tmax , 有 :
ε( tmax )
=
ktmax q0
+
B [1
-
exp ( -
q0 tmax ] q1
(12)
(b) t ∈[ tmax , ∞) 时 ,由式 (4) 和 (6) 可得 :
ktmax = q0ε + q1ε·
(13)
求解式 (13) 可得 :
ε( t)
=
ktmax q0
Abstract : Based on the stress2strain relationship of soils , it is proven that settlement2time curves assume“S”shape when the loading is linear , like in a contruction process. A new model for forecasting the settlement2time relationship is presented. Case history shows the rationality of the method. Keywords : stress2strain relationship ; linear loading ; settlement2time curve ; Possion curve
(4)
· 7 0 · 土 木 工 程 学 报
2005 年
作为上式的一个特例 , 考虑土体流变的麦钦特本 构模型 (如图 1 所示) 的系数为 :
q0
=
E1 E0 E0 + E1
q1
=
K1 E0 E0 + E1
p1
=
K1 E0 + E1
(5)
图 1 麦钦特模型 Fig11 Merchant model
yt
=
k 1 + ae- bt
(23)
式中 , yt 为 t 时刻对应的预测值 , 其单位为长度单
位 ; t 为时间 , 其单位为时间单位 ; a 、b 和 k 为待定
参数且为正 , a 无量纲 , b 的单位为时间的倒数 , k
的单位为与 yt 相对应的长度单位 。
利用一时间序列求出上述 3 个待定参数 , 即可建
ε·( t) =
-
B
1
- exp ( -
q0 q1
tmax )
exp ( -
q0 q1
tmax )
q0 q1
exp
(
-
q0 t ) q1
t ∈[ tmax , ∞)
易知 : ε¨( t)
=
≥0 t ≤0 t
∈ (0 , tmax ∈[ tmax , ∞)
故ε ( t) 函数呈现 “S”形 。
113 “S”形证明
(a) t ∈ (0 , tmax ] 时 , 由式 (4) 和 (6) 可得 :
kt + p1 k = q0ε + q1ε·
(7)
求解式 (7) 可得 :
ε( t)
=
kt q0
+p1 k q0源自-q1 k q20
+
Cexp ( -
q0 t ) q1
(8)
式中 , C 为常数 。
通过调节 b 可以模拟相当大范围的曲线 。当 b = 011
和 b = 5 所对应的曲线示于图 3 , 可见其良好的适应
性。
图 3 泊松曲线的良好适应性 Fig13 Compatibility of Poisson curve
(f) 满足固结度条件 根据固结度的定义有 :
U=
Yt Y∞ -
Y0 Y0
2 q1 E·′+ 2 q2 E¨′
(2)
或
ps S·′= Qs E·′
(3)
∑ ∑ 式中 ps
=
n i =0
pi
(
9i 9ti
)
, qs
=
j
m =0
2
qj
(
9j 9tj
)
,i
=
0 ,1 ,2 ,
…n , j = 0 ,1 ,2 , …m 。
本文采用较为简单的如下形式进行讨论 , 即 :
σ + p1σ·= qεs + q1ε·
立泊松曲线方程 , 从而可以对于今后的 yt 进行预测 。
212 模型的特点
泊松曲线具有以下六个特点 :
(a) 不通过原点性 当 t = 0 时 , y0 = kΠ (1 + a)
≠0 , 故不通过原点 。
(b) 单调递增性 随着时间的增长 , yt 也将不
断的增长 , 即 :
y′= kab (1 + ae- bt ) - 2 > 0
=
1
k + ae - bt
-
k 1+
k
-
k 1+
a
a
=
a (1 - e- bt ) a (1 + ae- bt )
(29) 当 t = 0 时 , U = 0 ; 当 t →∞时 , U = 1 。而指数曲线 法对 t = 0 时 , U ≠0 。 213 模型的求解
本文主要介绍利用三段计算法求泊松曲线方程中
(21) (22)
2 数学模型的建立与求解
从上面的数学力学证明可看出 , 对于线性加载或 近似线性加载的岩土工程问题 , 其沉降 - 时间关系曲 线应为 “S”形 , 因而为了进行沉降预测 , 需建立一 个能反映沉降随时间呈 “S”形变化的数学模型 。 211 模型的建立
泊松曲线亦称逻辑斯蒂曲线或推理曲线 , 也有人 称之为饱和曲线 。在时间序列预测中 , 泊松曲线的表 达式为 :
式 , 可得 :
D
=
B
1
- exp ( -
q0 q1
tmax )
exp ( -
q0 q1
tmax )
(17)
从而有 :
ε·( t)
=-
B
1
- exp ( -
q0 q1
tmax )
exp ( -
q0 q1
tmax )
q0 q1
exp
(
-
q0 t ) q1
(18)
由ε· ( t) ≥0 , 得 B ≤0 , 即
+
Dexp ( -
q0 q1
t
t)
(14)
ε·( t) = - D q0 exp ( - q0 t )
(15)
q1
q1
式中 , D 为常数 。
对于 t = tmax , 有 :
ε( tmax )
=
ktmax + Dexp ( q0
q0 tmax ) q1
(16)
(c) 由应变的连续性条件 , 即由 (12) 、 (16)
B=k
p1 q0
-
q1 q20
≤0
(19)
得:
q0 p1 ≤ q1
(20)
(d) 综合式 (11) 和式 (18) , 从而有 :
第 38 卷 第 6 期
梅国雄等·地基沉降 - 时间曲线型态的证明及其应用
·71 ·
k q0
+
B
q0 q1
exp
(
-
q0 t ) q1
t
∈ (0 , tmax)
由ε (0) = 0 代入式
(8) ,
并记
B
=
p1 k q0
-
q1 k q20
,
可得 :
C =-
( p1 k q0
-
q1 q20
k
)
=-
B
(9)
从而有 :
ε( t)
=
kt q0
+
B [1
-
exp ( -
q0
t )
]
q1
(10)
ε·( t)
=
k q0
+
B
q0 q1
exp
(
-
q0 t ) q1
(11)
令
M = ab2 ke - bt (1 + ae - bt ) - 3 > 0
(27)
则
y″t = M ( ae- bt - 1)
(28)
当 t < (ln a) Πb 时 , y″t > 0 , 开口凹向上方 ; 当 t >
(ln a) Πb 时 , y″t < 0 , 开口凹向下方 。故呈 “S”形 。
模型 , 工程实例证明了该模型的合理性 。
1 从本构关系角度证明线性加载下沉降2时间 曲线呈 “S”形
111 本构模型
考虑流变的土体本构模型可以归结为通用的本构
方程形式为[3] :
一维问题 :
p0σ +
p1σ·+
p2σ¨=
τ y
(σy )
+
q0ε +
q1ε·+
q2ε¨(1)
三维问题 :
p0 S′+ p1 S·′+ p2 S¨′= τy (σy ) + 2 q0 E′+
112 加荷条件
假定线性加荷的荷载与时间关系如图 2 所示 , 即
假定施工期间 , 荷载随着时间线性增长 , 施工工程结
束 , 荷载达到最大值 , 并随后保持不变 。其数学表达
如下 :
σ=
ktmax t ≥ tmax
kt
t ≤ tmax
(6)
图 2 加荷过程与时间的关系 Fig12 Ramp load curve