例一、 例一、 在抛物线y 的最小值。 点P在抛物线 2=x上，定点 在抛物线 上 定点A(3,0),求|PA|的最小值。 求 的最小值 法一、 法一、目标函数法
解：设 = P (x, y ) ∴ y
2 2
Q P 点在抛物线上， 点在抛物线上， PA = = = (x − 3)2 + y x 2 − 6x + 9 + x x 2 − 5x + 9 5 2 11 (x − ) + 2 4
例三、 例三、 已知定点M ），F是抛物线y =2x的焦点 的焦点， 已知定点M（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点， 在此抛物线上求一点P |PM|+|PF|取得最小值 取得最小值， 在此抛物线上求一点P，使|PM|+|PF|取得最小值， 求点P 求点P的坐标
分析： ，由抛物线的定义： 如图， 分析： 如图 由抛物线的定义：
抛物线上的点到焦点的距离 与到准线的距离相等。 与到准线的距离相等。 即|PF| = |PN| ∴ |PM|+|PF|= |PM|+|PN| ∴当 M、P、N三点共 线时距离之和最小。 线时距离之和最小。
N F F
M
P M
解： 如图所示 在抛物线 y2 = 2x上任取一点 上任取一点 P’(x’,y’),作P’N’⊥准线 ，作MN 准线L， 作 交抛物线于P（ ， ） ⊥L ，MN交抛物线于 （x，y） 交抛物线于 由抛物线的定义得： 由抛物线的定义得： |P’F|= |P’N’|
练习： 练习：
1.已知M(a,0) 为抛物线y = 2px(p> 0)的对称轴
2
上的一个定点在抛物线上求一点N, 使得 MN 最小
2、求抛物线y2=64x上的点到直线 、求抛物线 上的点到直线 4x+3y+46=0 距离最小值，并求取得最小值 距离最小值， 时抛物线上的点的坐标
课堂小结： 课堂小结：
分析1 动点在弧AB上运动， 分析1：动点在弧AB上运动，可以设 AB上运动 出点P的坐标，只要求出点P 出点P的坐标，只要求出点P到线段 AB所在直线AB的最大距离即为点 所在直线AB的最大距离即为点P AB所在直线AB的最大距离即为点P到 线段AB的最大距离， AB的最大距离 线段AB的最大距离，也就求出了 ABP的最大面积 的最大面积。 △ABP的最大面积。 分析2：我们可以连接AB， 分析 ：我们可以连接AB，作平行 AB AB的直线 与抛物线相切， 的直线L AB的直线L与抛物线相切，求出直 的方程，即可求出直线L 线L的方程，即可求出直线L与AB 间的距离，从而求出△ABP面积的 间的距离，从而求出△ABP面积的 最大值和点P的坐标。 最大值和点P的坐标。
练习、 练习、
P为抛物线 2=4y上的一动点，定点 （8,7）,求 为抛物线x 上的一动点， 为抛物线 上的一动点 定点A（ ） 求 P到x轴与到点 的距离之和的最小值 9 轴与到点A的距离之和的最小值 到 轴与到点
y P A
F O
y P A
所求p 所求p 点位置
F
x
O
x
Q
小结： 小结：
几何法，运用数形结合的思想， 几何法，运用数形结合的思想，利用抛物线的定 将到焦点的距离转化为到准线的距离， 义，将到焦点的距离转化为到准线的距离，将图 形局部进行转化， 形局部进行转化，使最值问题得以求解
2
y
y=x2
∴ y = x2
P(x,y)
o x
−6
87 。 80
法二、 法二、判别式法
解：当L平移到与抛物线y=x2只有一个公共点时,设此时的 平移到与抛物线y=x 只有一个公共点时, 直线为L1 其方程为3x 4y-b=0。 L1， 3xL1的距离即为所求 的距离即为所求。 直线为L1，其方程为3x-4y-b=0。则L与L1的距离即为所求。 3x-4y+b=0 ① y=x2 ② 代入①可得： ②代入①可得：4x2 -3x+b=0 ∴ ⊿=(-3)2-4×4×b=0 可 4 ⋅ 1 ⋅(9 − r 2 ) = 0 11 ∴ r= 2
练习： 练习： 为抛物线y 上一动点， 为圆 为圆（ 上一动点 若P为抛物线 2=x上一动点，Q为圆（x-3)2+y2=1 上 为抛物线 一动点， 一动点，求|PQ|的最小值 的最小值 11
2 −1
例二、 例二、 为抛物线y= 上的一动点， 设P为抛物线y= x2上的一动点，求P点到直线 3x-4y-6=0的距离的最小值 的距离的最小值。 L: 3x-4y-6=0的距离的最小值。 法一、 法一、目标函数法
解：设 P ( x, y ) Q P 点在抛物线上， 点在抛物线上， 3x − 4y − 6 d = 5 5 3 2 87 4(x − ) + 8 16 = 5 3 当 x = 时， d 有最小值为 8 = 3x − 4x
在解析几何中， 在解析几何中，常见的最值问题的求解方法主要 有以下几种： 有以下几种： 函数法：选择恰当的变量，根据题意建立目标函数， 函数法：选择恰当的变量，根据题意建立目标函数， 再探求目标函数的最值方法。 再探求目标函数的最值方法。 判别式法： 判别式法： 利用已知条件构造一个含有某一变量的一 元二次方程， 元二次方程，通过判断方程的判别式寻求 题目的答案。 题目的答案。 几何法：利用数形结合的思想， 几何法：利用数形结合的思想，借助于几何图形中的 一些特点，将图形局部进行转化， 一些特点，将图形局部进行转化，使最值问 题得以求解。 题得以求解。
L y A(4,4)
P o B(1,-2) x
小结： 小结：
对于抛物线上一点到定点或者是定直线的最值 问题， 问题，可以由两点间距离公式或者点到直线的 距离公式建立目标函数， 距离公式建立目标函数，再用函数最值的方法 求解；也可以通过一些几何性质和已知条件构 求解；也可以通过一些几何性质和已知条件构 造一个含有某一变量的一元二次方程， 造一个含有某一变量的一元二次方程，通过判 断方程的判别式寻求题目的答案。 断方程的判别式寻求题目的答案。
N’ N
P’ M P F
即：|P’F|+|P’M|= |P’N’|+|P’M|
重合时， 三点共线， 当P’和P重合时，即PN⊥L，N、P、M三点共线， 和 重合时 ⊥ ， 、 、 三点共线 ∴ |P’M|+ |P’N’| ≥ |PM|+|PN|= |PM|+|PF| 的纵坐标等于点M的纵坐标 又∵点P的纵坐标等于点 的纵坐标，即y=2 的纵坐标等于点 的纵坐标， 所以， 的坐标为（ ， ） 所以，点P的坐标为（2，2） 的坐标为
y
y=x2
L1 L
9 16 ∴ L 与 L 1 的距离是 b = −
o
x
d = 为所求
− 6 − (− 3
2
9 16
)
+ (− 4 )2
87 = 80
.
练习：已知抛物线y2=4x，以抛物线上两点 练习：已知抛物线y =4x， A(4,4)、B(1,-2)的连线为底边 ABP，其顶点P 的连线为底边△ A(4,4)、B(1,-2)的连线为底边△ABP，其顶点P 在抛物线的弧AB上运动， AB上运动 ABP的最大面积 在抛物线的弧AB上运动，求： △ABP的最大面积 及此时点P的坐标。 及此时点P的坐标。
= x
5 当 x = 时， PA 取最小值 2
11 。 2
法二、 法二、判别式法 过Ａ作同心圆,当圆与抛物线相 作同心圆 当圆与抛物线相 切时,Ｐ 点的距离最小,设为 设为r 切时 Ｐ到Ａ点的距离最小 设为
(x − 3)2 + y 2 = r 2 则由 2 y =x
⇒ x − 5x + 9 − r = 0