( x - 3) + 4 x
2
= x2 - 2x + 9
= ( x - 1) 2 + 8
min
x³ 0
= 2 2, 此时M (1, 2)
变3
\ 当x = 1时，
２
变式训练：
已知点M 在抛物线y = 4 x上运动， 点Q在圆(x - 3) + y = 1上运动,则 MQ 的最小值是
.
2 2 2
小组讨论、交流：
只需求出动点M到圆心 A(3,0)距离最小值再 减去圆半径即可。
y
M
F
练习
A
Q .
x
所以 MQ min = 2 2 - 1
2
的最小值是多少？
小组讨论、交流：
y
M
F
x
l
已知点F为抛物线 y 2 = 4 x 的焦点,A(3,2) 为定点，点M 是抛物线上任意一点，则 MA + MF 的最小值是 ，此时点M的 坐标是
小组活动：
。
探究2
y
M A
讨论解决方案
F
x
探究3
已知抛物线y ＝４x和定点Ａ(7,8), 抛物线上有一动点Ｍ，点Ｍ到点Ａ 的距离为d1，点Ｍ到抛物线准线距离 为d 2，则d1＋d 2的最小值是 .
2 2 最小值为ＡF ＝（7-1） +（8-0) =10
y M F
A
M
x
思考：已知点Ａ３０，点 ( , ) M在抛物线y２＝４x 上运动，求 MA 的最小值，及此时点M的坐标.
解：设点Ｍ( x, y)是抛物线y 2＝４x 上任一点,则y = 4 x
AM =
=
2
y M F Ax
( x - 3)2 + y 2
作业
y
B
1、定长是3的线段AB的端点A、B 在抛物线 y 2 x上移动，求线段 AB的中点M到y轴距离d的最小值。
y
F
A
x
2.在抛物线y2=8x上求一点P， 使P到焦点F的距离与到Q(4,1) 的距离的和最小，并求最小值。
K
P Q O 2 F 4
x
探究2 4 x 得抛物线的准线 方程 x = - 1. 过点M作MH垂直于抛物线的准线，
2
小组讨论、交流
H
y
A
M F
x
探究4
已知直线l1:4x-3y +6=0和直线l2:x=-1, 抛物线y ＝４x上一动点M到直线l1和直线l2 的距离之和的最小值是 .
2
先审题，再小组 讨论、交流。
思考：已知点Ａ３ ( , ０，点 ) M在抛物线 y ＝４x上运动，求 MA 的最小值， 及此时点M的坐标.
与抛物线相关的最值问题（一）
平坝第一高级中学 高二数学组
一、复习抛物线的定义：
平面内与一个定点F 和一条定直线l （l不经过点F）距离相等的点的轨迹 叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点； 直线l叫做抛物线的准线．
K F
H
M
注意：|MF|=|MH|
l
探究1
已知F是抛物线 y 2 px( p 0)的焦点， 点M ( x0 , yo )是抛物线上一动点，则 MF
垂足为H,如图，由抛物线的定义
得 MA + MF = MA + MH
2 解析：由y =
当且仅当Ａ、Ｍ、H三点共线时， MA + MH 的最小值为1+3=４， H 此时Ｍ(1,2)
y
M
A x
F
解析:连接MF,由抛物线的定义
得 ｄ ＋ｄ ＝ＭＡ＋ＭＦ １ ２
当且仅当Ａ、Ｍ、Ｆ三点共线， 且M在A，F之间时， ＭＡ＋ＭＦ