第1课时 二次函数的概念【学习目标】1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；2．探索并归纳二次函数的定义；3．能够表示简单变量之间的二次函数关系。

【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。

【课时类型】概念课 【学习过程】 一、学习准备1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。

2．一次函数的关系式为y= (其中k 、b 是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y ＝ (其中k 是 的常数)；反比例函数的关系式为y= (k 是 的常数)。

二、解读教材——数学知识源于生活1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。

分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = . 2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．猜想出二次函数的定义及一般形式吗？一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。

它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。

例1 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2321x y +-= (2)112+=x y(3)x y 222+=(4)251t t s ++= (5)22)3(x x y -+= (6)210r s π=即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y = (2)252132+-=x x y(4)1132--=）（x y (5)cax y -=2(6)12+=x s 三、挖掘教材6．对二次函数定义的深刻理解及运用例2 若函数1232++=+-kx x y k k是二次函数，求k 的值。

分析：x 的最高次数等于2，即k 2-3k+2=2，求出k 的值即可。

解：即时练习：若函数1)3(232++-=+-kx x k y k k是二次函数，则k 的值为 。

四、反思小结1．我们通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。

2．定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。

3．二次函数y=ax²+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的几种不同表示形式：(1) y=ax² (a≠0)； (2) y=ax²+c (a≠0且c≠0)； (3) y=ax²+bx (a≠0且b≠0)。

4．二次函数定义的核心是关键字“二”，即必须满足自变量最高次项的指数为_____，且______项系数不为_____的整式。

【达标测评】1．下列函数不属于二次函数的是（ ） A ．y =(x －1)(x +2)B ．y =21(x +1)2 C ．y =2(x +3)2－2x 2 D ．y =1－3x 22．在边长为6 cm 的正方形中间剪去一个边长为x cm(x <6)的小正方形，剩下的四方框形的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系是 。

3．用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系式是 ，它是 函数。

4．正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，则y 与x 之间的函数表达式为 。

5．当m= 时，22)2(--=mx m y 是二次函数；若函数mmx m y --=2)2(是二次函数，则m= 。

7．若函数y =(k 2－4)x 2+(k +2)x +3是二次函数，则k 。

8.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．第2课时二次函数y＝ax2的图象与性质【学习目标】1．能够利用描点法做出函数y＝ax2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y＝ax2的性质；2．理解二次函数y＝ax2中a对函数图象的影响。

【学习重点】经历探索二次函数y＝ax2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。

【学习难点】能够利用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝ax2的性质。

【学习过程】一、学习准备1．正比例函数y=kx(k≠0)是图像是。

2．一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是。

3．反比列函数y=kx(k≠0)的图像是。

4．当我们还不了解一种函数图像的形状时，只能用描点法研究，描点法的一般步骤是：，，。

二、解读教材5．试作出二次函数y＝x2的图象。

（1）画出图象：①列表：（注意选择适当的x值，并计算出相应的y值）②描点：（在右图坐标系中描点）③连线：（应注意用光滑的曲线连接各点）① 由图象可知二次函数2x y =的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线；①y ＝x 2的图像是 ，且开口方向是 。

②它是 对称图像，对称轴是 轴。

在对称轴的左侧（x>0）,y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧（x<0），y 随x 的增大而 。

③图像与对称轴有交点，称为抛物线的顶点此时，坐标为（ ， ）。

④因为图像有最低点，所以函数有最 值，当x=0时，y 最小= 。

6．（二）例1在图（4）中，画出函数221x y =，2x y =，22x y =的图象．归纳：抛物线221x y =，2x y =，22x y =的图象的形状都是 ；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数a _______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ． 归纳：抛物线221x y -=，2x y -=，22x y -=的的图象的形状都是 ；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数a _______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ． 例2 请在图（4）中画出函数221x y -=，2x y -=，22x y -=的图象．列表：三、挖掘教材根据上面的图象，从图象的开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标、最值等五个方面进行归纳。

同时，a 决定图象在同一直角坐标系中的开口方向，|a|越小图象开口 。

例 11. 已知：抛物线102-+=m m mx y ，当x>0时，y 随x 的增大而增大，求m 的值。

2. 已知抛物线y=ax 2经过点A （-2，-8），（1）求此抛物线的函数解析式；3. 判断点B （-1，- 4）是否在此抛物线上；（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。

例2、已知函数223y x =的图象经过点11(,)2A y ，2(2,)B y -，31(,)3C y -， （1）点A 到y 轴的距离是_______，点B 到y 轴的距离是_______，点C 到y 轴的距离是_______; 由（1）题中可知到y 轴距离最大的点是______，最小的是________，你能判断出123,,y y y 的大小和点到y 轴的距离的大小有什么关系吗？.变形：若题中的函数改为223y x =-，上述结论还成立吗？若不成立，你认为应该是什么结论？1、抛物线25y x =上有三点1(2,)A y -，2(3,)B y ，32(,)3C y ，则123,,y y y 的大小关系是______________.2、抛物线23y x =-上有三点1(1,)A y -，2(5,)B y ，37(,)3C y ，则123,,y y y 的大小关系是______________. 3、若抛物线212y x =上有三点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y 满足123x x <<，能否判断出123,,y y y 的大小关系？为什么？变形：若满足1230x x <<<呢？四、反思小结二次函数的y ＝ax 2（a≠0）的图象与性质：五个方面理解： ， ， ， ， 。

【达标测评】1．抛物线y=2x 2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，y 随着x 的增大而增大；在 侧,y 随着x 的增大而减小。

当x= 时，函数y 的值最小,最小值是 。

抛物线y=2x 2的图象在 方（除顶点外）。

2．函数y ＝x 2的顶点坐标为 ，若点（a ，4）在其图象上，则a 的值是 。

3．函数y ＝x 2与 y ＝-x 2的图象关于 对称，也可以认为y ＝-x 2 是函数y ＝x 2的图象绕 旋转得到的。

4．求出函数y=x+2与函数y ＝x 2的图象的交点坐标 。

【学习目标】1．会用描点法作出函数y ＝ax 2+k 的图象，能根据图象认识和理解二次函数y ＝ax 2+k 的性质； 2．理解二次函数y ＝ax 2+k 中a 和k 对函数图象的影响； 3．理解二次函数y ＝ax 2与y ＝ax 2+k 的关系。

【学习重点】理解二次函数y ＝ax 2+k 的性质。

【学习难点】理解二次函数y ＝ax 2与y ＝ax 2+k 的关系。

【学习过程】一、学习准备知识链接：直线12+=x y 可以看做是由直线x y 2=向 平移 个单位得到的。

练：若某一次函数的图象是由x y 2-=平移得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。

解：由此你能推测二次函数2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系吗？ 猜想： 。

二、解读教材 2．用描点法作出二次函数y ＝2x 2+1的图像。

小结：①y ＝2x 2+1的图像是 ，且开口向 。

②对称轴是 ，在对称轴左右的增减性分别是：在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，y 随x③顶点是：( ， )，且从图像看它有最 点，则函数y 有最 值，即当x= 时有最 值是 。

3．在同一直角坐标系中，作出二次函数y ＝-x 2，y＝-x 2+2，y ＝-x 2-2小结：①抛物线y ＝ax 2+k 的开口方向由 决定，当 时，开口向上；当 时，开口向下。

②对称轴是 ，当a>0时，在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 。

且函数y 当x=0时y min = 。

当a<时，在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 。