二次函数自学导学案(全章)第一课一、什么是二次函数？提出问题：某商店将每件进价为 8 元的某种商品按每件 10 元出售，一天可销出约100 件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低 0.1 元，其销售量可增加 10 件。
设售价降低 x 元时的利润为y。
请用含x的代数式表示y。
并求出自变量x的取值范围。
观察思考：以上解析式中含有几个自变量？它们都是几次多项式？二次函数定义：形如的_函__数_ 叫做 x 的二次函数， ___叫做二次函数的系数， ___叫做一次项的系数， ___叫作常数项．练习:1.下列函数中，哪些是二次函数?(1)y=5x ＋1 (2)y=4x 2－1(3)y=2x 3－3x2(4)y=5x 4－3x ＋1二、二次函数的图像和性质：问题：画函数图像分为那几个步骤？(一) 二次函数y=ax 2(a工0 )的图象和性质：做一做,画一画：在同一直角坐标系中，画出函数 y=2x 2与 y=-2x 2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么 ?请观察所画图像回答：函数y=ax 2（a工0）的图象是一条_________ 它的对称轴是____________ 顶点坐标是_____ .当a>O时，抛物线y=ax 2开口向一在对称轴的左边（当x<0时），曲线自左向右函数值y随x的增大而_____________________ 在对称轴的右边（当x >0时），曲线自左向右_____ ,函数值y随x的增大而 ______ 当x=0时，函数值y二ax2取得最__值，最 __值是___ .当a v O时，抛物线y=ax 2开口向一在对称轴的左边（当x<0时），曲线自左向右_____________ 函数值y随x的增大而 _____ 在对称轴的右边（当x >0时），曲线自左向右_____ ，函数值y随x的增大而 _____ 当x=0时，函数值y二ax2取得最__值，最 __值是___ .练习：1、分别说出函数y=4x 2与y=-3x 2的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值。
（二）二次函数y = ax2+ k的图象特征和性质：画一画：同一直角坐标系中，画岀函数 y = 2x2与y = 2x 2+ 1的图象; 解：列表：根据图像回答以下问题：问题 1：当自变量 x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系 ?问题2 :函数y = 2X2+1和y = 2x2的图象有什么联系？问题 3：现在你能回答前面提出的第 2个问题了吗 ?问题4 :你能由函数y = 2X2的性质，得到函数y = 2X2+ 1的一些性质吗？函数y= 2X2+ 1的性质：开口方向是________ 对称轴是_______ 点坐标是______当x 时,函数值y随X的增大而减小；当x 时,函数值y随X的增大而增大，当x 时，函数取得最，最_______________ 值y = _____ L画一画：在同一直角坐标系中画岀函数y = -2X2- 2与函数y = -2X2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？根据图像回答以下问题：问题 1：当自变量 x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系 ?问题2 :函数y = -2x2— 2和y = -2x2的图象有什么联系？问题 3：现在你能回答前面提出的第 2个问题了吗 ?问题4 :你能由函数y = -2x2的性质，得到函数y= -2x2— 2的一些性质吗？函数y = -2x2— 2的性质：开口方向是 ____ ,对称轴是_______ 点坐标是______ 当x 时,函数值y随x的增大而减小；当x 时,函数值y随x的增大而增大，当x时，函数取得最，最 _______________值y = ______ L1、函数y = ax2+ k的图象特征和性质：函数y = ax2+ k的图象是一条 __________它的对称轴是 ___________ 顶点坐标是当a>O时，抛物线y = ax2+ k开口向__在对称轴的左边（当x<0时），曲线自左向右___________ 函数值y随x的增大而 ______ 在对称轴的右边（当x >0时），曲线自左向右_____ ，函数值y随x的增大而 ______ 当x=0时，函数y = ax2+ k取得最__值，最―值是_____ .当a v O时，抛物线y = ax2+ k开口向__在对称轴的左边（当x<0时）,曲线自左向右____ 函数值y随x的增大而 _______ 在对称轴的右边（当x >0时），曲线自左向右，函数值y随x的增大而当x=0时，函数y = ax2+ k 取得最__值，最―值是_____________________ .2、函数y = ax2+ k的图象可以由抛物线y = ax2向上或者是向下平移_______ 单位得到。
练习：在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象，1 1 1y二2x2，y二2X2+2，y= 2x2- 2观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置以及它们所具备的性质。
第二课(三) 函数y = a(x —h)2的图象和性质：能在同一直角坐标系中，画岀函数y = 2x2与y = 2(x — 1)2的图象吗？试一试解：列表在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系 ?问题2 :函数y = 2(x — 1)2和y = 2x2的图象有什么联系？问题 3：现在你能回答前面提出的第 2 个问题了吗 ?问题4 :你能由函数y = 2x2的性质，得到函数y = 2(x — 1)2的一些性质吗？函数y = 2(x — 1)2的性质：开口方向是___ ,对称轴是_______ 点坐标是______ 当x 时,函数值y随x的增大而减小；当x 时,函数值y随x的增大而增大，当x 时，函数取得最 ___________________________ ，最 ______ 值y = ______ L探究二:问题7 :在同一直角坐标系中画出函数 y= -2(x+1) 2与函数y = -2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系 ?问题2 :函数y = -2(x+1) 2和y = -2x2的图象有什么联系？问题 3：现在你能回答前面提出的第 2 个问题了吗 ?问题4 :你能由函数y = 2x2的性质，得到函数y = 2(x+1) 2的一些性质吗？函数y = 2(x+1) 2的性质：开口方向是_____ ,对称轴是_______ 顶点坐标是_____ 当x 时,函数值y随x的增大而减小；当x 时,函数值y随x的增大而增大，当x时，函数取得最，最_______________ 值y = ______ L1、函数y = a(x — h)2的图象特征和性质：函数y = a(x — h)2的图象是一条__________ 它的对称轴是 __________ 顶点坐标是当a>O时，抛物线y = a(x — h)2开口向一在对称轴的左边(当x<h时)，曲线自左向右_____________ 函数值y随x的增大而______ 在对称轴的右边(当x >h时)，曲线自左向右____ ，函数值y随x的增大而______ 当x=h时，函数值y = a(x —h) 2取得最 __值，最 __值是__ .当a v O时，抛物线y = a(x — h)2开口向__在对称轴的左边(当x<h时), 曲线自左向右函数值y随x的增大而在对称轴的右边(当x >h时), 曲线自左向右 ,函数值y随X的增大而当x=h时，函数值y = a(x — h) 2取得最__值，最__值是 .2、函数y = a(x — h)2的图象可以由抛物线y = ax2向左或者是向右平移_______ 单位得到。
练习：在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象，y= x2, y = (x + 1)2和 y = (x — 1)2观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置以及它们所具备的性质。
(四)函数y=a(x — h)2+ k的图象和性质:探究一：你能填写下表吗？吗？问题3 :通过把函数 y=2x 2向右平移1个单位，再向上平移 1个单位得到函数 y=2(x — 1)2+ 1 观察图像，你能发现函数y=2(x — 1)2+ 1有哪些性质？函数 y=2（x －1）2＋1 的性质：开口方向是____ ，对称轴是_____ ,顶点坐标是_____ ;当 x ___ 时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x ________ 时，函数值 y 随 x 的增大而增大，当 x _______ 时，函数取得最______ ，最 _______ 值y = _______ :猜想函数y=-2（x+1）2— 1的性质：开口方向是_____ 对称轴是_______ 顶点坐标是 _____ 当x _______ 时，函数值y随x的增大而减小；当x时，函数值y随x的增大而增大，当x时，函数取得最值，最_______________ 值 y = _____ ．总结探究结果，归纳出：1 、函数y=a（x －h）2＋k 的图象特征和性质：函数y=a（x －h）2＋k 的图象是一条 _______ 它, 的对称轴是 ________ 顶, 点坐标是当a>O时，抛物线y=a（x - h）2+ k开口向__在对称轴的左边（当x<h时）,曲线自左向右_____ 函数值y随x的增大而______ 在对称轴的右边（当x >h时），曲线自左向右____ ，函数值 y 随 x 的增大而____ 当; x=h 时，函数y=a（x －h）2 +k取得最―值，最—值是______ .当a v O时，抛物线y=a（x -h）2+ k开口向一在对称轴的左边（当x<h时），曲线自左向右___________ 函数值y随x的增大而______ 在对称轴的右边（当x >h时），曲线自左向右_____ ，函数值y 随x 的增大而 ____ 当; x=h 时，函数y=a(x - h)+k取得最—值，最―值是______ .2、函数y=a(x - h)2+ k的图象可以由抛物线y = ax2向左或是向右平移 ________ 单位再向上或是向下平移____ 单位得到。
列表归纳：三、反馈练习：已知函数 y = 2x2、y = 2(x — 3)2+ 3 和 y = 2(x + 3)2— 3。