第7章例题1.的无偏估计下列统计量是总体均值的样本为总体设,,,321X X X X 量的是B321321613121..X X X B X X X A ++++321321814121.212121.X X X D X X X C ++++ 2.的无偏估计下列统计量是总体均值的样本为总体设,,21X X X 量的是 D21.X X A +213121.X X B + 214141.X X C + 212121.X X D + 3.样本()()，则，，来自总体221,...,σμ==X D X E X X X X n BA. 的无偏估计是μi ni X ∑=1B. 的无偏估计是μXC. ()的无偏估计是221σn i X i ≤≤ D. 的无偏估计是22σX4.设),(21X X 是来自任意总体X 的一个容量为2的样本，则在下列总体均值的无偏估计中，最有效的估计量是 DA. 213132X X +B. 214341X X +C. 215352X X + D . )(2121X X +5.从总体中抽取样本,,X X 12下面总体均值μ的估计量中哪一个最有效DA. 11X =μB. 22X =μC. 2134341X X +=μD. 2142121X X +=μ 6.从总体中抽取样本32,1,X X X 统计量 6323211X X X ++=μ),4423212X X X ++=μ) 3333213X X X ++=μ)中更为有效的是CA. 1μ)B. 2μ)C. 3μ)D. 以上均不正确7.设21,X X 是取自总体()2σμ，N 的样本，已知21175.025.0X X +=μ和2125.05.0X X +=μ都是μ的无偏估计量，则________更有效8.设X 1，X 2， X 3， X 4是来自均值为λ的指数分布总体的样本，其中λ未知，设有估计量)(31)(6143211X X X X T +++=5)432(43212X X X X T +++= 4)(43213X X X X T +++=（1）找出其中λ的无偏估计量；（2）证明3T 较为有效. 解(1)由于X i 服从均值为λ的指数分布，所以 λ=+++=)]()([31)]()([61)(43211X E X E X E X E T Eλ2)](4)(3)(2)([51)(43212=+++=X E X E X E X E T Eλ=+++=)]()()()([41)(43213X E X E X E X E T E即31,T T 是λ的无偏估计量(2)由方差的性质知243211185)]()([91)]()([361)(λ=+++=X D X D X D X D T D24321341)]()()()([161)(λ=+++=X D X D X D X D T D)()(31T D T D >，所以3T 较为有效。

9. 设总体X 的概率密度为(),,0,x e x x x λλϕλ-⎧>=⎨≤⎩ 其中λ为未知参数，如果取得样本观测值为12,,,n x x x L ，求参数λ的极大似然估计值 . 解1i nx i L e λλ-==∏1ln ln ni i L n x λλ==-∑11nii nxxλ===∑)10. 设总体X 的概率密度为()1,01;,0,x x f x θθθ-⎧<<=⎨⎩其它其中θ>0，若取得样本观测值为n x x x ,,,21Λ，求参数θ的极大似然估计值解 11-=∏=θθini x L∑=-+=ni i x n L 1ln )1(ln ln θθ ∑=-=ni ixn1ln θ)11.设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--θθθθx x e x f x ,0,2);()(2,其中0>θ为未知参数.如果取得样本观测值为n x x x ,,,21Λ,求参数θ的最大似然估计值.解:似然函数⎪⎩⎪⎨⎧>∑==--其他0,2)(1)(2θθθi x n x e L ni i , θ>i x 当, 时， 0)(>θL ,取对数 得∑=--=ni i x n L 1)(22ln )(ln θθ02d )(ln d >=n L θθ,所以)(θL 单调增加. 由于i x <θ,即θ应该满足),,,min(21n x x x Λ≤θθ的最大似然估计值为),,,min(21n x x x Λ≤∧θ .12.设921,,,X X X Λ为正态总体)4.0,(~2μN X 的样本，样本均值的观测值5=x ,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为 A))9(34.05),9(34.05(.))8(34.05),8(34.05(.)34.05,34.05.()34.05,34.05(.025.0025.0025.0025.005.005.0025.0025.0t t D t t C u u B u u A +-+-+-+-13.设2521,,,X X X Λ为正态总体)4.0,(~2μN X 的样本，样本均值的观测值8=x ，则未知参的数μ置信度为0.90的置信区间为 B)54.08,54.08.()54.08,54.08(.05.005.01.01.0u u B u u A +-+-))24(54.08),24(54.08(.))24(54.08),24(54.08(.05.005.01.01.0t t D t t C +-+-14.某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得直径（mm ）如下：14.6，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.8. 设滚珠直径X ～()2,σμN ，如果已知直径标准差15.0=σ（mm ）， 求在置信水平1－α=0.95的置信区间.(96.1025.0=u ) 解、已知15.0=σ，n=9，91.14=x ，所以μ的置信度为0.95的置信区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2020,ααμσμσn X n X ， 即 （14.81，15.01）15. 某厂生产的滚珠直径()2,~σμN X ，从某天的产品里随机抽取6个，测得直径如下：(单位：毫米)14.70、15.21、14.98、14.91、15.32、15.32.如果知道该天产品直径的方差是0.05，试找出置信度为0.95的直径平均值的置信区间. (0.025 1.96u =)解、 15.06x =，ˆ15.06x μ== 由置信水平10.95α-=， 则0.05α=，/20.025 1.96u u α==1.960.18=所以置信区间为：[]15.060.18,15.060.18-+即[]14.88,15.24 16. 随机地从一批钉子中抽取9枚，测得长度（单位：cm ）分别为2.24 2.10 2.13 2.05 2.13 2.12 2.23 2.20 2.15 设钉子的长度 服从正态分布,试求总体均值μ的90%的置信区间. (1) 若已知0.01()cm σ=; (=05.0u 1.645)(2) 若σ未知. (86.1)8(05.0=t )解(1)μ的置信度为1α-的置信区间为 ),(2/2/αασσU nX U nX +-其中n=9,α=0.10,σ=0.01由计算得15.2=X 代入上式得 (2.145，2.155）----5分 (2)μ的置信度为1α-的置信区间为),(2/2/ααt n S X t n S X +-其中n=9，α=0.10，由计算得15.2=X ，代入得(2.111 ,2.189 )17.从一批零件中，抽取9个零件，测得其直径(毫米)为19.7， 20.1, 19.8, 19.9, 20.2, 20, 19.9, 20.2, 20.3,若零件直径服从正态分布2(,)N μσ，且未知σ，求零件直径的均值μ的0.95的置信区间. ()()0.0250.05,8 2.31t α== 解 20.010.2030.05X S α===20.16α=置信区间(19.85， 20.17) 18.某厂生产的钢丝.其抗拉强度),(~2σμN X ，其中2,σμ均未知，从中 任取9根钢丝，测得其强度（单位：kg ）为：578，582，574，568，596， 572，570，584，578,试在置信水平1－α=0.99下求s 2的置信区间.(34.1)8(,0.22)8(2995.02005.0=χ=χ；）解 ： 578x =，7459281S 2=⨯=，方差2σ的置信区间为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛χ-χ-α-α2212222S)1n (,S )1n ( 即：（26.91，441.79）19.今从一批零件中，随机抽取10个，测量其直径尺寸与标准尺寸之间的偏差（mm ）分别为2，1，－2，3，2，4，－2，5，3，4。

零件尺寸偏差随机变量X ～()2,N σμ，试在置信水平1－α=0.95下求s 2的置信区间.［7.2)9(,19)9(2975.02025.0=χ=χ］解： 2x =，778.5s 2=，所以2σ的置信区间为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---221222211ααχχS n S n )(,)(即：（2.74，19.26）。