数字图像处理-图像变换编码
作逆变换,得到一个原图向量的近似值:
Xˆ AmTYm mX
3、均方误差
E{
X
Xˆ
2
}
N2
i
im1
4、K-L变换举例
[举例]
(1)求mx平均值向量; (2)求[Xi-mx]; (3)求Cx; (4)求协方差矩阵Cx的特征值及特征向量; (5)求K-L变换核矩阵; (6)进行变换; (7)协方差矩阵; (8)K-L逆变换;
eTN
2
CX矩阵与其特征值i和特征向量ei应符合关系:
CX ei iei i 1,2,...,N 2
1
CY
2
N 2
离散K-L逆变换公式为:
X ATY mX
实际使用中,只取前m个特征值所对应的特征向量。
e1T
Am
e2T
emT
m
N
2
得到:
Ym Am ( X mX )
离散余弦变换(Discrete Cosine Transform):
在傅立叶级数展开式中,如果被展开的 函数是实偶函数,那么,其傅立叶级数中只 包含余弦项,再将其离散化由此可导出余弦 变换,或称为离散余弦变换。
一维离散余弦变换
设一维离散函数f(x),将其扩展成偶函数:
对于偶对称:
f (x)
当0 x M -1
将图像集合为{f0(x,y),f1(x,y),…,fM-1(x,y)}离散表示为如下 的向量形式(X0,X1,…,XM-1)。
f0 (0,0)
f0
(0,1)
f0
(0,
N
1)
f0
(1,0)
X 0 f0 (1,1)
f0 (N 1,0)
f0
(
N
1,1)
f0 (N 1, N 1)
X 0,0
X 0
X 0,n1
X1,0
X1
X1,n1
Xi,0
X M 1,0
Xi
X
i,1
X
M
1
X
M
1,1
X i,n1
X M 1,n1
X向量的协方差矩阵定义为:
CX E{(X mX )(X mX )T } 式中:mX E{X }
M个向量的平均值向量由下式定义:
fs (x) = f (-x -1) 当- M ≤x ≤-1
对于奇对称:
f (x) fs (x) = f (-x)
当0 x M -1 当- M 1 ≤x ≤-1
对于偶变换作傅立叶变换,则得:
Fs (k)
1 2M
M 1
j 2 k ( x 1 )
fs (x)e 2M 2
xM
1 2M
M 1
j (2 x1) k
坐标系旋转后的情况
由此可见,通过变换去除了两个相邻的数据 样本x1和x2之间的一些相关性。
实际上,在左图中,考虑到相邻样值的相关 性,x1和x2同时出现相近幅度的可能性最大。因 此,合成可能性往往落在阴影区内。
右图相当于对数据进行了正交变换,从几何 上相当于坐标系旋转 45o,变成y1,y2坐标系,则在 新坐标系下,任凭y1在较大的范围变化,而y2始 终只在相当小的范围内变化,因此通过这样的变 化就能得到一组去除大部分,甚至是全部统计相 关性的另一种输出样本
mX
1 M
M 1
Xi
i0
X向量的协方差矩阵:
CX
ห้องสมุดไป่ตู้
1 M
M 1
(Xi mX )(Xi mX )T
i0
1 M
M 1
[
X
i
X
T i
]
mX
mTX
i0
令i和ei是协方差矩阵CX的特征值和对应的特征向量:
1 2 3 i N 2
特征值1对应的特征向量
e11
e1
e11
e1N2
e21
fM 1(N 1,0)
f
M
1(
N
1,1)
fM 1(N 1, N 1)
对于原始图像是单幅图的情况,可以切分成块,然后堆 叠成向量。例如:一幅256256图像,可以把它切分成1024个 向量(切分成16块,每一块传送n=64次,整个图像共传送 M=1024次)。每个块中的向量堆叠成向量的向量。
2、离散K-L变换表达式
Y A(X mX )
X - mx 是中心化图像向量
可得到K-L变换结果向量Y的协方差矩阵为:
CY E{(Y mY )(Y mY )T }
经过K-L变换后,所得的Y向量是一个平均向量为零的向量集。
CY E{Y (Y )T } AC X AT
e1T
A e2T
特征值2对应的特征向量
e2
e21
e2
N
2
ei1
特征值i对应的特征向量
ei
ei1
eiN
2
以特征向量e作为K-L变换的基向量,令其作为K-L变换核矩
阵的行,称之为K-L变换核矩阵,即:
e11 e12 e1N 2
A
e11
e12
e1N 2
eN 21 eN 2 2 eN 2N 2
变换编码的应用
单色图像、彩色图像、静止图像、运动图像、电视帧内图 像和帧间图像压缩等。
K-L变换——最佳的正交变换
离散K-L变换是以图像的统计特性为基础的一种正交变换, 也称特征向量变换或主分量变换。
1、离散K-L变换的变换核矩阵
假定对某幅NN的图像f(x,y)(x,y=0,1,…,N-1)在通信干线 上做M次传送,由于物理通道的随机噪声,在接收端所接收的 图像集合为{f0(x,y),f1(x,y),…,fM-1(x,y)}。
f1(0,0)
f1(0,1)
f1(0,
N
1)
f1(1,0)
X1 f1(1,1)
f1(N 1,0)
f1(
N
1,1)
f1(N 1, N 1)
fM 1(0,0)
f
M
1(0,1)
f
M
1(0,
N
1)
f
M
1(1,0)
••• ••• X M 1 fM 1(1,1)
4.2图像变换编码
变换编码的基本原理
变换编码不是直接对空域图像信号编码,而是首先将空域 图像信号变换到另一个正交矢量空间(变换域或频域),产生 一批变换系数,然后对这些变换系数进行编码处理。
[示例1] 设有两个相邻的数据样本x1与x2,每个样本采 用3bit编码,因此各有8个幅度等级。
子图像在阴影区中的概率较大
fs (x)e 2M
xM
1 2M
M 1 xM
f
s
(
x)
cos
(
2x 2M
1
k
)
1 M
M 1 x0
f
s
(
x)
cos
(2x 2M
1
k
)
式中:
k M ,M 1,...,M 1
当
k
0, Fs (0)
1 M
M 1
f (x)
x0
当k
M , Fs (M )
1 M
M 1 x0
f
(x) cos(x
)
2
0
当 k 1,2,..., (M 1), Fs (k) Fs (k)