《二次函数与一元二次方程》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）经过点（﹣1，0），顶点为M，过点P（0，a+4）作x轴的平行线l，l与抛物线及其对称轴分别交于点A、B、H．以下结论：①当x ＝3.1时，y＞0；②存在点P，使AP＝PH；③（BP﹣AP）是定值；④当a＝2时，y＝|a（x﹣1）2+k|的图象与直线l有四个交点，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④2．（5分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴是直线x ＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），那么抛物线与x轴的另一个交点是（）A．（3，0）B．（4，0）C．（5，0）D．（6，0）3．（5分）若二次函数y＝（a﹣4）x2﹣2ax+a+8的图象与x轴有交点，且关于x的分式方程3﹣＝有整数解，则符合条件的整数a的和为（）A．12B．10C．14D．94．（5分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c，当﹣3＜x＜﹣2时，y＞0；当3＜x＜4时，y＜0．则a与c满足的关系式是（）A．c＝﹣15a B．c＝﹣8a C．c＝﹣3a D．c＝a5．（5分）若函数y＝（a﹣2）x2﹣2ax+a﹣与x轴有交点，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数a的值有（）个A．3B．4C．5D．6二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y ＝x+m与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是．7．（5分）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于两点A、B，它的对称轴与x轴交于点N．过顶点M作ME⊥y轴，垂足为E，连接BE，交MN于点F，则△EMF与△BNF的面积的比为．8．（5分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表x……﹣2﹣10123n……y……830﹣1m38……有以下几个结论：①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；④当y＞8时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞4．其中正确的结论是（把你认为正确结论的序号都填上）．9．（5分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（3，0），对称轴是直线x＝1，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是．10．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于A，B两点，若点A坐标为（﹣1，0），则点B的坐标为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）某次数学活动时，数学兴趣小组成员小融拟研究函数y＝﹣（x﹣2）2+|x﹣2|+3的图象和性质．（1）下表是该函数y与自变量x的几组对应值；x…﹣2012346…y…﹣1m 3.53n3﹣1…其中，m的值为，n的值为．（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点画出该函数图象；（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质；（4）若关于x的方程﹣（x﹣2）2+|x﹣2|+3＝k有3个不相等的实数根，则k的值为．12．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2交x轴于点P交y轴于点A；抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点．（1）试求该抛物线的解析式，并写出顶点坐标及对称轴；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标．13．（10分）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴的两个交点分别为A（1，0）、B （3，0），与y轴的交点为C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）在x轴上方的二次函数图象上，是否存在一点E使得以B、C、E为顶点的三角形的面积为？若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由．14．（10分）已知二次函数y＝x2﹣x+m的图象经过点（1，﹣2）（1）求此函数图象与坐标轴的交点坐标；（2）若P（﹣2，y1），Q（5，y2）两点在此函数图象上，试比较y1，y2的大小．15．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象，A（1，0），B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线与x轴的另一个交点是C点，求△ABC的面积．《二次函数与一元二次方程》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）经过点（﹣1，0），顶点为M，过点P（0，a+4）作x轴的平行线l，l与抛物线及其对称轴分别交于点A、B、H．以下结论：①当x ＝3.1时，y＞0；②存在点P，使AP＝PH；③（BP﹣AP）是定值；④当a＝2时，y＝|a（x﹣1）2+k|的图象与直线l有四个交点，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【分析】根据二次函数的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（3，0），且抛物线开口向上，可对①作判断；根据图形中与x轴交点坐标（﹣1，0）和对称轴与x轴交点（1，0）可对②作判断；根据对称性得：AH＝BH，根据线段的和与差可对③作判断；根据二次函数图象的性质可对④作判断．【解答】解：①由题意得：a＞0，开口向上，∵抛物线对称轴是x＝1，且经过点（﹣1，0），∴抛物线过x轴另一个点为（3，0），∴当x＝3.1时，y＞0；故①正确；②当P在O点时，AP＝PH，∵a＞0，∴P不可能与O重合，故②不正确；③BP﹣AP＝（BH+PH）﹣AP＝AH+PH﹣AP＝2PH＝2，故③正确；④当a＝2时，a+4＝6，P（0，6），如图所示，故④正确．所以正确的有：①③④，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质、与x轴的交点、关于x轴对称的点的特点，利用数形结合的思想解决问题是关键，并熟练掌握二次函数的性质．2．（5分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴是直线x ＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），那么抛物线与x轴的另一个交点是（）A．（3，0）B．（4，0）C．（5，0）D．（6，0）【分析】直接利用抛物线的对称性进而得出另一个交点坐标．【解答】解：∵抛物线的对称轴是直线x＝2，与x轴的一个交点是（﹣1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点是：（4，0）．故选：B．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确利用抛物线的对称性分析是解题关键．3．（5分）若二次函数y＝（a﹣4）x2﹣2ax+a+8的图象与x轴有交点，且关于x的分式方程3﹣＝有整数解，则符合条件的整数a的和为（）A．12B．10C．14D．9【分析】根据二次函数与图象与x轴有交点，可求得a的取值范围；再用含a的式子表示出x的值，根据x为正整数，求出a的所有的解，再求和即可．【解答】解：根据题意，得（a﹣4）x2﹣2ax+a+8＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2a）2﹣4（a﹣4）（a+8）≥0，解得：a≤8，解分式方程，得：x＝，根据x≠2的整数，∴a＝﹣5，11，7，1，5，2，4．根据a≤8，可得：a═﹣5，7，1，5，2，4，整数a的和为：﹣5+7+1+5+2+4＝14，故选：C．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点与分式方程的综合，解决此题时，能根据题意确定出a的所有符合条件的值是解题的关键．4．（5分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c，当﹣3＜x＜﹣2时，y＞0；当3＜x＜4时，y＜0．则a与c满足的关系式是（）A．c＝﹣15a B．c＝﹣8a C．c＝﹣3a D．c＝a【分析】把x＝﹣3和x＝﹣2代入y＝ax2﹣2ax+c，由y＜0都成立，列不等式组求的a 与c的关系；把x＝3和x＝4代入y＝ax2﹣2ax+c，由y＞0都成立，列不等式组求的a 与c的关系即可解答．【解答】解：∵当﹣3＜x＜﹣2时，y＞0∴，解得：c≥﹣8a；∵当3＜x＜4时，y＜0，∴，解得：c≤﹣8a；∴c＝﹣8a，故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点和二次函数的性质，根据自变量的取值范围以及函数值与0的关系列出不等式（组）是解决问题的关键5．（5分）若函数y＝（a﹣2）x2﹣2ax+a﹣与x轴有交点，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数a的值有（）个A．3B．4C．5D．6【分析】先求出不等式组的解集，根据已知得出a≤5，根据二次函数与x轴有交点得出△≥0，求出a＞，或者该函数是一次函数时，求得a的取值范围，并求出整数解即可．【解答】解：，解不等式①得：x≤a，解不等式②得：x＞5，∵关于x的不等式组无解，∴a≤5．①当二次函数y＝（a﹣2）x2﹣2ax+a﹣与x轴有交点时，方程（a﹣2）x2﹣2ax+a﹣＝0的△＝（﹣2a）2﹣4（a﹣2）（a﹣）≥0，解得：a≥，∴≤a≤5．又∵a≠2，整数有1，3，4，5，共4个．②当函数y＝（a﹣2）x2﹣2ax+a﹣是一次函数时，a﹣2＝0，此时a＝2．综上所述，整数有1，2，3，4，5，共5个．故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和二次函数与x轴的交点问题，能求出符合的两个解集是解此题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y ＝x+m与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是﹣6＜m＜﹣3．【分析】如图所示，过点B作直线y＝x+m1，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数y＝x+m在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解．【解答】解：如图所示，过点B作直线y＝x+m1，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数y＝x+m在两条直线之间时，两个图象有4个交点，令y＝﹣x2+x+6＝0，解得：x＝﹣2或3，即点B坐标（3，0），翻折抛物线的表达式为：y＝（x﹣3）（x+2）＝x2﹣x﹣6，将一次函数与二次函数表达式联立并整理得：x2﹣2x﹣6﹣m＝0，△＝b2﹣4ac＝4+（6+m）＝0，解得：m＝﹣10，当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝x+m得：0＝3+m，解得：m＝﹣3，故答案为：﹣6＜m＜﹣3．【点评】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，涉及到一次函数、根的判别式等知识点，本题的关键通过画图，确定临界点图象的位置关系．7．（5分）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于两点A、B，它的对称轴与x轴交于点N．过顶点M作ME⊥y轴，垂足为E，连接BE，交MN于点F，则△EMF与△BNF的面积的比为1：4．【分析】由题意可求顶点坐标和x轴的交点坐标，由△EMF∽△BNF可得△EMF与△BNF 的面积的比＝EM2：BN2＝1：：4．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4∴顶点M坐标为（1，4），对称轴为x＝1∴EM＝1＝ON，MN＝4，∵当y＝0时，0＝﹣x2+2x+3∴x1＝3，x2＝﹣1∴点B（3，0），点A（﹣1，0）∴OB＝3∴BN＝OB﹣ON＝2∵ME⊥y轴，OB⊥y轴∴ME∥OB∴△EMF∽△BNF∴△EMF与△BNF的面积的比＝EM2：BN2＝1：4，故答案为：1：4【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用二次函数的性质是本题的关键．8．（5分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表x……﹣2﹣10123n……y……830﹣1m38……有以下几个结论：①抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上；②抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1；③方程ax2+bx+c＝0的根为0和2；④当y＞8时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞4．其中正确的结论是①③④（把你认为正确结论的序号都填上）．【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．【解答】解：由表格可知，抛物线的对称轴是直线x＝＝1，故②错误，抛物线的顶点坐标是（1，﹣1），有最小值，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，故①正确，当y＝0时，x＝0或x＝2，故方程ax2+bx+c的根为0和2，故③正确，当y＞8时，x的取值范围是x＜﹣2或x＞4，故④正确，故答案为：①③④．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9．（5分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（3，0），对称轴是直线x＝1，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜3．【分析】直接利用二次函数的对称性得出图象与x轴的另一个交点，进而得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（3，0），对称轴是直线x＝1，∴图象与x轴的另一个交点为：（﹣1，0），故当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣1＜x＜3．故答案为：﹣1＜x＜3．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，正确利用数形结合分析是解题关键．10．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于A，B两点，若点A坐标为（﹣1，0），则点B的坐标为（3，0）．【分析】根据二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于A，B两点，点A坐标为（﹣1，0），可以求得m的值，从而可以得到该函数的解析式，进而求得点B的坐标．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于A，B两点，点A坐标为（﹣1，0），∴0＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）+m，解得，m＝﹣3，∴y＝x2﹣2x﹣3，当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），解得，x1＝3，x2＝﹣1，∴点B的坐标为（3，0），故答案为：（3，0）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）某次数学活动时，数学兴趣小组成员小融拟研究函数y＝﹣（x﹣2）2+|x﹣2|+3的图象和性质．（1）下表是该函数y与自变量x的几组对应值；x…﹣2012346…y…﹣1m 3.53n3﹣1…其中，m的值为3，n的值为 3.5．（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点画出该函数图象；（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质图象关于直线x＝2对称；（4）若关于x的方程﹣（x﹣2）2+|x﹣2|+3＝k有3个不相等的实数根，则k的值为3．【分析】（1）把x＝0，x＝3分别代入函数表达式，即可得出m，n的值；（2）把表格中7个点画在坐标系中，根据点的变化趋势，即可画出此函数的图象；（3）结合图象，可得图象关于直线x＝2对称或最大值为3.5等；（4）可转化为函数y＝﹣（x﹣2）2+|x﹣2|+3图象与y＝k图象有三个交点的问题，利用图象即可得出．【解答】解（1）当x＝0时，y＝﹣2+2+3＝3，即m＝3，当x＝3时，y＝﹣0.5+1+3＝3.5，即n＝3.5故答案为：3，3.5（2）图象如图所示：（3）图象关于直线x＝2对称（4）∵﹣（x﹣2）2+|x﹣2|+3＝k有3个不相等的实数根，即函数y＝﹣（x﹣2）2+|x﹣2|+3图象与y＝k图象有三个交点，由图象得，k＝3．【点评】本题考查分段的二次函数图象，可以根据自变量的取值范围分别作出对应的函数图象即可得出整个函数的图象．解题时要注意数形结合思想的运用．12．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2交x轴于点P交y轴于点A；抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点．（1）试求该抛物线的解析式，并写出顶点坐标及对称轴；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标．【分析】（1）首先根据一次函数解析式求出A点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；最后将解析式写成顶点式，直接写出顶点坐标及对称轴；（2）利用相似三角形（Rt△OCA∽Rt△OAP）得到比例线段之间的关系，求出线段OC 的长度，从而得到C点的坐标．【解答】解：（1）直线解析式为，令x＝0，则y＝2，∴A（0，2），∵抛物线y＝﹣的图象过点A（0，2），E（﹣1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2；∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线．（2））∵直线分别交x轴、y轴于点P、点A，∴P（6，0），A（0，2），∴OP＝6，OA＝2．∵AC⊥AB，OA⊥OP，∴∠OAC＝∠OP A，∴Rt△OCA∽Rt△OAP，∴，∴，又C点在x轴负半轴上，∴点C的坐标为C（，0）．【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、一次函数、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质等重要知识点．掌握点的坐标的几何求法是解题的关键．13．（10分）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴的两个交点分别为A（1，0）、B （3，0），与y轴的交点为C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）在x轴上方的二次函数图象上，是否存在一点E使得以B、C、E为顶点的三角形的面积为？若存在，求出点E坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设交点式y＝a（x﹣1）（x﹣3），化为一般式得到3a＝﹣3，解得a＝﹣1，从而得到抛物线解析式；（2）先确定C（0，﹣3），作EF∥y轴交直线BC于F，如图，利用直线平移得到直线BC的解析式为y＝x﹣3，设E（x，﹣x2+4x﹣3），则F（x，x﹣3），利用三角形面积公式得到S△BCE＝•EF•3＝﹣x2+x＝，然后解方程求出x即可得到满足条件的E点坐标．【解答】解：（1）抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），即y＝ax2﹣4ax+3a，∵3a＝﹣3，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣3；（2）存在．当x＝0时，y＝﹣x2+4x﹣3＝3，∴C（0，﹣3），作EF∥y轴交直线BC于F，如图，易得直线BC的解析式为y＝x﹣3，设E（x，﹣x2+4x﹣3），则F（x，x﹣3），∴EF＝﹣x2+4x﹣3﹣（x﹣3）＝﹣x2+3x，∴S△BCE＝•EF•3＝﹣x2+x，即﹣x2+x＝，解得x1＝，x2＝当x＝时，y＝﹣x2+4x﹣3＝，此时E点坐标为（，），当x＝时，y＝﹣x2+4x﹣3＝（舍去），综上所述，E点坐标为（，）．【点评】本题考查了解二次函数综合题的方法：先要运用待定系数法求出二次函数的解析式，其次要利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而表示出三角形的面积，列出方程去确定点的坐标．14．（10分）已知二次函数y＝x2﹣x+m的图象经过点（1，﹣2）（1）求此函数图象与坐标轴的交点坐标；（2）若P（﹣2，y1），Q（5，y2）两点在此函数图象上，试比较y1，y2的大小．【分析】（1）先把（1，﹣2）代入y＝x2﹣x+m求出m得到抛物线解析式为y＝x2﹣x ﹣，则通过解方程x2﹣x﹣＝0得抛物线与x轴的交点坐标；通过计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标；（2）先确定抛物线的对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的性质，通过比较P点和Q 点到对称轴的距离大小得到y1，y2的大小．【解答】解：（1）把（1，﹣2）代入y＝x2﹣x+m得﹣1+m＝﹣2，解得m＝﹣，则抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣，当y＝0时，x2﹣x﹣＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，所以抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；当x＝0时，y＝x2﹣x﹣＝﹣，所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣）；（2）抛物线的对称轴为直线x＝1，因为P（﹣2，y1）到直线x＝1的距离比点Q（5，y2）到直线x＝1的距离小，而抛物线开口向上，所以y1＜y2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．15．（10分）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象，A（1，0），B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线与x轴的另一个交点是C点，求△ABC的面积．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）通过解方程﹣x2﹣2x+3＝0得C点坐标，然后根据三角形面积公式计算△ABC的面积．【解答】解：（1）把A（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，所以抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，∴C点坐标为（﹣3，0），∴△ABC的面积＝（1+3）×3＝6．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．。