九年级二次函数拔高培优及解析一、单选题1．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是x=1.下列结论中：①abc>0；②2a+b=0；③方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−2,0)；⑤若点A(m,n)在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c．其中正确的有()A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】B【解析】【分析】结合函数图象，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可．【详解】①∵对称轴是y轴的右侧，∴ab<0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc<0，故①错误；②∵−b=1，2a∴b=−2a，2a+b=0，故②正确；③由图象得：y=3时，与抛物线有两个交点，∴方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根，故③正确；④∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(4,0)，抛物线的对称轴是x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−2,0)，故④正确；⑤∵抛物线的对称轴是x=1，∴y有最大值是a+b+c，∵点A(m,n)在该抛物线上，∴am2+bm+c≤a+b+c，故⑤正确，本题正确的结论有：②③④⑤，4个，故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右；常数项c 决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c)；也考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质．2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a；②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；③若y2＞y1，则x2＞4；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和13其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】【分析】利用交点式写出抛物线解析式为y=ax2﹣2ax﹣3a，配成顶点式得y=a（x﹣1）2﹣4a，则可对①进行判断；计算x=4时，y= a×5×1=5a，则根据二次函数的性质可对②进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对③进行判断；由于b=﹣2a ，c=﹣3a ，则方程cx 2+bx+a=0化为﹣3ax 2﹣2ax+a=0，然后解方程可对④进行判断．【详解】由二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点A （﹣1，0）、点B （3，0）， 可得抛物线解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），即y=ax 2﹣2ax ﹣3a ，∵y=a （x ﹣1）2﹣4a ，∴当x=1时，二次函数有最小值﹣4a ，所以①正确；当x=4时，y=a×5×1=5a ，∴当﹣1≤x 2≤4，则﹣4a≤y 2≤5a ，所以②错误；∵点C （1，5a ）关于直线x=1的对称点为（﹣2，﹣5a ），∴当y 2＞y 1，则x 2＞4或x ＜﹣2，所以③错误；∵b=﹣2a ，c=﹣3a ，∴方程cx 2+bx+a=0化为﹣3ax 2﹣2ax+a=0，整理得3x 2+2x ﹣1=0，解得x 1=﹣1，x 2=13，所以④正确，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法、二次函数与一元二次方程等，综合性较强，熟练掌握待定系数法以及二次函数的相关知识是解题的关键.3．已知二次函数y=﹣x 2+x+6及一次函数y=﹣x+m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是（ ）A ． ﹣254＜m ＜3B ． ﹣254＜m ＜2C ． ﹣2＜m ＜3D ． ﹣6＜m ＜﹣2【答案】D【解析】【分析】如图，解方程﹣x 2+x+6=0得A （﹣2，0），B （3，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=（x+2）（x ﹣3），即y=x 2﹣x ﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线•y=﹣x+m 经过点A （﹣2，0）时m 的值和当直线y=﹣x+m 与抛物线y=x 2﹣x ﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m 的值，从而得到当直线y=﹣x+m 与新图象有4个交点时，m的取值范围．【详解】如图，当y=0时，﹣x2+x+6=0，解得x1=﹣2，x2=3，则A（﹣2，0），B（3，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），当直线y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m=0，解得m=﹣2；当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6=﹣x+m有相等的实数解，解得m=﹣6，所以当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2，故选D．【点睛】本题考查了抛物线与几何变换，抛物线与x轴的交点等，把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解决此类问题常用的方法.4．若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )A．(−3,−6)B．(−3,0)C．(−3,−5)D．(−3,−1)【答案】B【解析】分析：根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．详解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），∴该抛物线解析式为y=x（x-2）=x2-2x=（x-1）2-1．将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x-1+2）2-1-3=（x+1）2-4．当x=-3时，y=（x+1）2-4=0，∴得到的新抛物线过点（-3，0）．故选：B．点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键．5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）①abc＜0；②a+c＞0；③2a+b=0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣1，x2=3⑤b2＜4acA．②③④B．①②③④C．①③④D．③④⑤【答案】B【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，结合抛物线的对称轴可确定b的符号，由抛物线与y轴的交点确定c的符号，然后根据图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】∵抛物线开口向下，∴a＜0，=1，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣b2a∴b=﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a+c＞b＞0，所以②正确；∵b=﹣2a，∴2a+b=0，所以③正确；∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣1，x2=3，所以④正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，所以⑤错误，故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与一元二次方程等，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.6．已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x轴最多有一个交点．以下四个结论：①abc＞0；②该抛物线的对称轴在x=﹣1的右侧；③关于x的方程ax2+bx+c+1=0无实数根；≥2．④a+b+cb其中，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】由a>0可知抛物线开口向上，再根据抛物线与x轴最多有一个交点可c>0，由此可判断可判断②，由ax2+bx+c≥0可判断出①，根据抛物线的对称轴公式x=﹣b2aax2+bx+c+1≥1＞0，从而可判断③，由题意可得a﹣b+c＞0，继而可得a+b+c≥2b，从而可判断④.【详解】①∵抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x轴最多有一个交点，∴抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故①正确；②∵0＜2a≤b，∴b 2a ＞1， ∴﹣b 2a ＜﹣1，∴该抛物线的对称轴在x=﹣1的左侧，故②错误；③由题意可知：对于任意的x ，都有y=ax 2+bx+c≥0，∴ax 2+bx+c+1≥1＞0，即该方程无解，故③正确；④∵抛物线y=ax 2+bx+c （0＜2a≤b ）与x 轴最多有一个交点，∴当x=﹣1时，y ＞0，∴a ﹣b+c ＞0，∴a+b+c≥2b ，∵b ＞0，∴a+b+c b ≥2，故④正确，综上所述，正确的结论有3个，故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系.7．二次函数y=x 2+（a ﹣2）x+3的图象与一次函数y=x （1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，则实数a 的取值范围是（ ）A ． a=3±2√3B ． ﹣1≤a ＜2C ． a=3+2√3或﹣12≤a ＜2D ． a=3﹣2√3或﹣1≤a ＜﹣12【答案】D【解析】分析：根据二次函数的图象性质即可求出答案．详解：由题意可知：方程x 2+（a-2）x+3=x 在1≤x≤2上只有一个解，即x 2+（a-3）x+3=0在1≤x≤2上只有一个解，当△=0时，即（a-3）2-12=0，a=3±2√3，当a=3+2√3时，此时x=-√3，不满足题意，当a=3-2√3时，此时x=√3，满足题意，当△＞0时，令y=x 2+（a-3）x+3，令x=1，y=a+1，令x=2，y=2a+1（a+1）（2a+1）≤0解得：-1≤a≤−12，当a=-1时，此时x=1或3，满足题意；当a=-12时，此时x=2或x=32，不满足题意， 综上所述，a=3-2√3或-1≤a ＜−12.故选：D ．点睛：本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是将问题转化为x 2+（a-3）x+3=0在1≤x≤2上只有一个解，根据二次函数的性质即可求出答案8．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a ），下列结论：①4a+2b+c ＞0；②5a ﹣b+c=0；③若方程a （x+5）（x ﹣1）=﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1；④若方程|ax 2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a ），根据顶点坐标公式可求得b=4a ，c=-5a ，从而可得抛物线的解析式为y=ax 2+4ax ﹣5a ，然后根据二次函数的性质一一判断即可．【详解】∵抛物线的开口向上，∴a>0，∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a ），∴﹣b2a =﹣2，4ac−b24a=﹣9a，∴b=4a，c=-5a，∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a，∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0，故①正确，5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0，故②错误，∵抛物线y=ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），∴若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故③正确，若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣8，故④错误，故选B．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，根据顶点坐标确定出抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a是解题的关键. 9．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①9a﹣3b+c=0；②4a﹣2b+c ＞0；③方程ax2+bx+c﹣4=0有两个相等的实数根；④方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=0的两根是x1=﹣2，x2=2．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】根据二次函数图形的性质逐一判断即可.【详解】①由抛物线的对称性可知：与x轴交于另一点为（﹣3，0），∴9a﹣3b+c=0；故①正确；②由图象得：x=0时y>0,∴当x=﹣2时，y＞0，∴4a ﹣2b+c ＞0，故②正确；③∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴方程ax 2+bx+c=4有两个相等的实数根，即方程ax 2+bx+c ﹣4=0有两个相等的实数根；故③正确；④由题意得：方程ax 2+bx+c=0的两根为：x 1=﹣3，x 2=1，∴方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）+c=0的两根是：x −1=−3或x ﹣1=1，∴x 1=﹣2，x 2=2，故④正确；综上得：正确结论为：①②③④，4个，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数图像的性质并熟练运用二次函数图像解决二次函数问题是解题关键.10．已知函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与函数y=x ﹣32的图象如图所示，则下列结论：①ab ＞0；②c ＞﹣32；③a+b+c ＜﹣12；④方程ax 2+（b ﹣1）x+c+32=0有两个不相等的实数根．其中正确的有（ ）A ． 4 个B ． 3 个C ． 2 个D ． 1 个【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的开口方向及对称轴的位置确定a 、b 的符号，即可判定①；根据抛物线与y 轴的交点在直线y=x ﹣32与y 轴交点的上方，即可判定②；观察图象可得当x=1时，ax 2+bx +c ＜x ﹣32，即可判定③；由函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与函数y=x ﹣32的图象有两个不同的交点，即可判定④.【详解】∵抛物线开口朝上， ∴a ＞0，∵对称轴x=﹣b2a 在y 轴的右侧，∴b ＜0，∴ab ＜0，故①错误；∵抛物线与y 轴的交点在直线y=x ﹣32与y 轴交点的上方， ∴c ＞﹣32，故②正确；观察图象可得，当x=1时，ax 2+bx +c ＜x ﹣32，即a +b +c ＜﹣12；故③正确； ∵函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与函数y=x ﹣32的图象有两个不同的交点，∴ax 2+（b ﹣1）x +c +32=0有两个不相等的实数根，故④正确． 故选B ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数与不等式之间的关系，解决这类问题都用到数形结合的数学思想.11．已知抛物线y=14x 2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（√3，3），P 是抛物线y=14x 2+1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是（ ）A ． 3B ． 4C ． 5D ． 6 【答案】C 【解析】 【详解】过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交抛物线y=14x 2+1于点P ，此时△PMF 周长最小值，∵F （0，2）、M （ √3，3），∴ME=3，FM=√(√3−0)2+(3−2)2=2， ∴△PMF 周长的最小值=ME+FM=3+2=5． 故选C ． 【点睛】本题求线段和的最值问题，把需要求和的线段，找到相等的线段进行转化，转化后的线段共线时为最值情况。