专题6 三角函数的求值★★★高考在考什么【考题回放】1．若πθ20<≤且同时满足cos sin θθ<和tan sin θθ<，那么角θ的取值范围是（ A ）（A ）),2(ππ（B ）)43,4(ππ（C ）)23,(ππ （D ）)45,43(ππ 2．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0,01),sin()(12x e x x x f x ，若2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为（ B ）（A ）1 （B ）22,1-（C ）22- （D ）22,1 3. 在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB的面积达最大值时，=θ （ D ）（A ）6π（B ）4π （C ）3π （D ）2π 4．△ABC 中，若)cos(cos ,5tan tan C B A C B -=⋅则的值为 23.5．设,40,2cos ,2sin πθθθ<<==b a 给出)4tan(πθ+值的四个答案：①a b -1；②b a -1；③a b +1；④ba+1.其中正确的是 ①④. 6．已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ．(Ⅰ) 求f (256π)的值； (Ⅱ) 设α∈(0，π)，f (2α)＝41，求sin α的值．【专家解答】(Ⅰ) 25125sin ,cos 626ππ==225252525()sin cos 06666f ππππ∴=+=(Ⅱ) 1()2sin 2222f x x x =-+，11()sin 222242f ααα∴=+-=-011sin 4sin 162=-α-α 解得8531sin ±=α 0sin ),0(>α∴π∈α 8531sin +=∴a★★★高考要考什么【考点透视】本专题主要涉及同角三角函数基本关系，诱导公式，两角和差公式，倍角公式，升幂缩角、降幂扩角公式等公式的应用.【热点透析】三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一 通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍★★★突破重难点【范例1】设0,sin 2sin cos .P θπθθθ≤≤+-＝ （1） 若sin cos ,t θθ-＝用含t 的式子表示P ; （2） 确定t 的取值范围，并求出P 的最大值.解析（1）由sin cos ,t θθ-＝有212sin cos 1sin 2.t θθθ=-=-222s i n 21,1 1.t P t t t t θ∴=-∴=-+=-++（2）sin cos ).4t πθθθ-=- ＝ 30,44 4.πππθπθ≤≤∴-≤-≤sin() 1.4πθ≤-≤即t的取值范围是1t -≤≤2215()1(),24P t t t t =-++=--+在1[1,]2-内是增函数，在1[2内是减函数.P ∴的最大值是5.4【点晴】sin cos ,sin cos θθθθ±间通过平方可以建立关系，“知其一，可求其二”．【文】已知51cos sin ,02=+<<-x x x π.（I ）求sin x －cos x 的值；（Ⅱ）求xx xx x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++-的值. 解析：法1（Ⅰ）由,251cos cos sin 2sin ,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得即 .2549cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π 故.57cos sin -=-x x（Ⅱ）xx x x x x xx x x x x sin cos cos sin 1sin 2sin 2cot tan 2cos 2cos 2sin 2sin 3222++-=++-121108sin cos (2cos sin )()(2)255125x x x x =--=-⨯-=-法二（Ⅰ）联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1cos sin ,51cos sin 22x x x由①得,cos 51sin x x -=将其代入②，整理得,012cos 5cos 252=--x x3sin ,345cos cos .0,4552cos .5x x x x x π⎧=-⎪⎪∴=-=-<<∴⎨⎪=⎪⎩或 故.57cos sin -=-x x（Ⅱ）x x x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 2sin 322++-x x x x x xsin cos cos sin 1sin 2sin 22++-=3443108sin cos (2cos sin )()(2)5555125x x x x =--=-⨯⨯-+=-【点晴】此题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.【范例2】已知51sin(),tan ,(0,),(0,2),1322βαβαπβπ+==∈∈ （1） 求sin ,cos .ββ 求cos α.解析：(1)由1tan 0,(0,2),22ββπ=>∈则()0,.2βπ∈4sin sin 2sin cos .22225βββββ==∴==223cos cos sin .225βββ=-=(2)由5sin()13αβ+=知12cos(),13αβ+=±由[]sin sin ()ααββ=+-()sin()cos cos sin .αββαββ=+-+在12cos()13αβ+=时，5312433sin 013513565α=⋅-⋅=-<与(0,)απ∈矛盾，舍去. 在12cos()13αβ+=-时，5312463sin 13513565α=⋅+⋅=可取.因此63sin 65α=. 【点晴】在求值时，要注意用已知角来表示所求角，讲究拆角、配角技术。

【文】已知11tan(),tan ,27αββ-==-且,(0,),αβπ∈求2αβ-的值. ①②解：4tan 2(),αβ-=[]tan(2)tan 2() 1.αβαββ-=-+=由1tan 73β=->-知5.6πβπ<<由1tan tan[()]33ααββ=-+=<知0.6πα<<32(,).2.24ππαβπαβ∴-∈--∴-=-【点睛】如果要求解的角是由一些表达式给出的，则一是考虑所求解的角与已知条件中的角的关系，尽量将所求解的角用已知条件中的角表示出来；二是考虑求该角的某个三角函数值，具体哪个三角公式，一般可由条件中的函数去确定，一般已知正切函数值，选正切函数.已知正、余弦函数值时，选正、余弦函数。

若角范围是02π（，），正、余弦函数均可，若角是0π（，）时，一般选余弦函数，若是22ππ（－，）时，则一般选正弦函数。

【范例3】已知ABC ∆的面积S 3,S ≤≤且6,AB BC ⋅= AB 与BC的夹角为θ.(1) 求θ的取值范围；(2) 求函数22()sin 2sin cos 3cos f θθθθθ=+⋅+的最小值.解析 （1）由题意知，||||cos 6,AB BC AB BC θ⋅=⋅=①11||||sin()||||sin 22S AB BC AB BC πθθ=⋅⋅-=⋅⋅②由②÷①，得1tan ,62S θ=即3tan .S θ=3,S ≤tan 1.θ≤≤ 又θ为AB 与BC 的夹角，[0,],θπ∈ [,].64ππθ∴∈（2）22()sin 2sin cos 3cos f θθθθθ=+⋅+＝2sin 2cos 22),4πθθθ++=++73[,].2[,].644124πππππθθ∈∴+∈32,44ππθ∴+=即4πθ=时，()f θ的最小值为3【点睛】本题体现了三角函数与平面向量的灵活应用。

【变式】已知向量(cos ,sin )m θθ=和sin ,cos ),(,2)n θθθππ=∈ 且5m n += 求)82cos(π+θ的值.解析 法1：)sin cos ,2sin (cos θ+θ+θ-θ=+n m22)s i n (c o s )2s i n (c o s θ+θ++θ-θ=+n m)s i n (c o s 224θ-θ+=)4cos(44π+θ+=)4cos(12π+θ+=由已知5m n +=257)4cos(=π+θ 又1)82(cos 2)4cos(2-π+θ=π+θ 216cos ()2825θπ∴+=0)82cos(898285,2<π+θ∴π<π+θ<π∴π<θ<π 54)82cos(-=π+θ∴法2：n m n m n n m m n m n m⋅++=+⋅+=+=+22)(22222222[cos sin )θθ=++sin cos ]θθ+)82(cos 8)]4cos(1[4)sin (cos 2242π+θ=π+θ+=θ-θ+=由已知m n += 54)82cos(=π+θ0)82cos(898285,2<π+θ∴π<π+θ<π∴π<θ<π54)82cos(-=π+θ∴【点睛】解决此题的关键是m n +的计算，有两种途径，其解法二的运算量较小，由此得到的结果，找出与cos()28θπ+的联系。

【范例4】设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (α)，试确定满足f (α)=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值解析 由y =2(cos x －2a)2－2242++a a 及cos x ∈［－1，1］得f (α)＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a aa ∵f (α)=21,∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞)或－22a －2a －1=21，解得a =－1(2,2)∈-，此时，y =2(cos x +21)2+21，当cos x =1时，即x =2kπ，k ∈Z ，y max =5 【点晴】 此题三角函数与二次函数的综合应用【变式】已知f （x ）=2a sin 2x －22a sin x +a +b 的定义域是［0,2π］，值域是［－5，1］,求a 、b 的值.解析 令sin x =t ，∵x ∈［0，2π］，∴t ∈［0，1］，f （x ）=g （t ）=2at 2－22at +a +b =2a （t －22）2+b . 当a ＞0时，则⎩⎨⎧=+-=，，15b a b 解之得a =6，b =－5.当a ＜0时，则⎩⎨⎧-=+=，，51b a b 解之得a =－6，b =1.【点睛】注意讨论的思想★★★自我提升1．若θ∈（0，2π]，则使sinθ<cosθ<cotθ<tanθ成立的θ取值范围是（ C ）（A ）（2,4ππ） （B ）（ππ,43）（C ）（ππ23,45） （D ）（ππ2,47）2．已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根为tan α、tan β，且α，β∈(－2,2ππ)，则tan2βα+的值是( B )（A ）21 (B ）－2 (C)34 (D) 21或－2 3．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边为射线4x+3y=0(x ＞0)，则sinα(sinα+c ot α)+cos 2α的值是( C )(A)51 (B) 52 (C) 58 (D) 594．_______2 （文）sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°＝________145．已知5(cos 1)x θ+的展开式中x 2的系数与4)45(+x 的展开式中x 3的系数相等，则cos θ= 22±6． ω是正实数，设)](cos[)(|{θωθω+==x x f S 是奇函数}，若对每个实数a ，(,1)S a a ω⋂+的元素不超过2个，且有a 使)1,(+⋂a a S ω含2个元素，则ω的取值范围是 ]2,(ππ7. 已知00<α<β<900，且sinα，sinβ是方程-+-020240cos x )40cos 2(x 21=0的两个实数根，求sin(β-5α)的值。