数学培优 （一）
1. 如果x x >，且0<kp ，那么，在自变量x 的取值范围内，正比例函数kx y =和反比例函数x
p y =
在同一直角坐标系中的图象示意图正确的是（ ）B
A B C D
2．在同一坐标系内,表示函数b kx y +=与()0,0≠≠=b k x
kb y 的图象只可能是下图中的（ ）B
A B C D
3. 如图，在直角坐标系中，直线x y -=6与)0(4>=x x
y 的图像相交于点A 、B ，设点A 的坐标为),(11y x ，那么长为x 1，宽为y 1的矩形面积和周长分别为（ ）
A 、4，12
B 、8，12
C 、4，6
D 、8，6
4. 已知点()a P ,1在反比例函数()0≠=k x
k y 的图象上，其中322++=m m a (m 为实数)，则这个函数的图象在第_____象限.一、三
5．已知3=b ,且反比例函数x
b y +=1的图象在每个象限内，y 随x 的增大而增大,如果点()3,a 在双曲线上x b y +=1，则_____=a .3
2-=a 6. 如果不等式0<+n mx 的解集是4>x ,点()n ,1在双曲线x
y 2=上,那么一次函数()m x n y 21+-=的图象不经过第__ _象限. 一、三、四 7．如图,反比例函数x
k y 2=和一次函数12-=x y ,其中一次函数的图象经过()b a ,、()k b a ++,1两点.(1)求反比例函数的解析式;(2)若点A 坐标是()1,1,请问:在x 轴上是否存在点P ，使AOP ∆为等腰三角形？若存在,把符合条件的点P 的坐标都求出来;若不存在,请说明理由.
解:(1)根据题意,得()⎩
⎨⎧-+=+-=.112,12a k b a b 两式相减,得2=k .
所以所求的反比例函数的解析式是x
y 1=. (2)由勾股定理,得21122=+=OA ,OA 与x 轴所夹的角为︒45.
①当OA 为AOP ∆的腰时,由OP OA =,得()0,21
P ,()0,22-P ; 由AP OA =,得()0,23P .
②当OA 为AOP ∆的底时,得()0,14P .
所以,这样的点有4个,分别是
()0,2、()0,2-、()0,2、()0,1. 8．如图，已知点()3,1在函数()0>=
x x k y 的图象上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，函数()0>=x x
k y 的图象经过A 、E 两点，若︒=∠45ABD ，求E 点的坐标. 解:由点()3,1在函数x k y =的图象上，则3=k .又E 也在函数x
k y =的图象上，故设E 点的坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛m m 3,.过E 点作x EF ⊥轴于F ,则m EF 3=. 又E 是对角线BD 的中点，所以m EF CD AB 62=
==. 故A 点的纵坐标为m 6,代入x y 3=中,得A 点坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛m m 6,2. 因此2
2m m m OB OF BF =-
=-=. 由︒=∠45ABD ,得︒=∠45EBF ,所以EF BF =. 即有m m 32=.解得6±=m .而0>m ,故6=m . 则E 点坐标为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛26,6. 9．如图,已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点
B 在函数()0,0>>=x k x
k y 的图象上，点()n m P ,为其双曲线上的任一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S ．
(1)求B 点坐标和k 的值；(2)当2
9=
S 时，求P 点坐标； (3)写出S 关于m 的函数关系式． 解：(1)设B 点坐标为()y x ,.则由条件,得⎩⎨⎧>==.
0,9y x xy
解上述方程组,得⎩⎨⎧==.
3,3y x 所以点B 的坐标是()3,3. 又由x
k y =,得9==xy k .
甲 乙
(2)因点P 的坐标为()n m ,. 当3≥m 时,如图甲,m n E P m AE 9,31=
=-= . 所以当2
9=
S 时，有291=•E P AE , 即()2993=•-m m .解得6=m . 故1P 点的坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛23,6. 当30<<m 时,如图乙,393,2-=-==m
n FC m F P . 所以当29=S 时，有292=•FC F P . 即2
939=⎪⎭⎫ ⎝⎛-•m m .解得23=m . 即2P 点的坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛6,23. (3)参照第(2)题可知,当3≥m 时,如图甲,
()m
m m E P AE S 279931-=•-=•=; 当30<<m 时,如图乙,
m m m FC F P S 39392-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-•=•=.。