第三章 章末检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若a <0，－1<b <0，则有( )A ．a >ab >ab 2B ．ab 2>ab >aC ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a2．已知x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e 3．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N4．不等式x 2－ax －12a 2<0(其中a <0)的解集为( ) A ．(－3a,4a ) B ．(4a ，－3a ) C ．(－3,4) D ．(2a,6a )5．已知a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式中恒成立的是( )A ．a 2>b 2B ．(12)a <(12)bC ．lg(a －b )>0 D.ab>16．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤0－x ＋2， x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]8．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1ab >12 B.1a ＋1b≤1 C.ab ≥2 D.1a 2＋b 2≤189．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ＋2≥0，则目标函数z ＝|x ＋3y |的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 10．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定11．设M ＝⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1，且a ＋b ＋c ＝1 (其中a ，b ，c 为正实数)，则M 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，18B.⎣⎡⎭⎫18，1 C ．[1,8) D ．[8，＋∞)12．函数f (x )＝x 2－2x ＋1x 2－2x ＋1，x ∈(0,3)，则( )A ．f (x )有最大值74B ．f (x )有最小值－113．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________________________________________________________________________． 14．对任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．16．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知a >0，b >0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a与a ＋b 的大小．18．(12分)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)．求证：(a a ＋b )·(b b ＋c )·(c c ＋a )≤18.19．(12分)若a <1，解关于x 的不等式axx －2>1.20．(12分)求函数y ＝x ＋22x ＋5的最大值．21．(12分)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B 点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝2米．(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？(2)当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．22．(12分)某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、产品消耗量资源甲产品(每吨)乙产品(每吨)资源限额(每天)煤(t)94360电力(kw· h)45200劳动力(个)310300利润(万元)612第三章不等式章末检测答案(B) 1．D[∵a<0，－1<b<0，∴ab>0，ab2<0.∴ab>a，ab>ab2.∵a－ab2＝a(1－b2)＝a(1＋b)(1－b)<0，∴a<ab2.∴a<ab2<ab.]2．C3．A[∵M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝(2a2－4a)－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a －1)2＋2>0.∴M >N .]4．B [∵x 2－ax －12a 2<0(a <0) ⇔(x －4a )(x ＋3a )<0 ⇔4a <x <－3a .]5．B [取a ＝0，b ＝－1，否定A 、C 、D 选项． 故选B.]6．D [∵x >1，∴x ＋1x －1＝(x －1)＋1(x －1)＋1≥2(x －1)·1x －1＋1＝3.∴a ≤3.]7．A[f (x )≥x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x ＋2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0－x ＋2≥x 2 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0x 2－x －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0x 2＋x －2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0－1≤x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0－2≤x ≤1⇔－1≤x ≤0或0<x ≤1⇔－1≤x ≤1.]8．D [取a ＝1，b ＝3，可验证A 、B 、C 均不正确， 故选D.]9．C [可行域如阴影，当直线u ＝x ＋3y 过A (－2，－2)时，u 有最小值(－2)＋(－2)×3＝－8；过B (23，23)时u 有最大值23＋3×23＝83.∴u ＝x ＋3y ∈[－8，83]．∴z ＝|u |＝|x ＋3y |∈[0,8]．故选C.]10．B [设甲用时间T ，乙用时间2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则T ＝s 2a ＋s 2b ＝s 2a ＋s 2b ＝s ×a ＋b 2ab ，ta ＋tb ＝s ⇒2t ＝2s a ＋b， ∴T －2t ＝s (a ＋b )2ab －2sa ＋b ＝s ×(a ＋b )2－4ab 2ab (a ＋b )＝s (a －b )22ab (a ＋b )>0，故选B.]11．D [M ＝⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1＝⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋c a －1⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋c b －1⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋c c －1 ＝⎝⎛⎭⎫b a ＋c a ·⎝⎛⎭⎫a b ＋c b ·⎝⎛⎭⎫a c ＋b c≥2b a ·c a ·2a b ·c b ·2a c ·b c＝8.∴M ≥8，当a ＝b ＝c ＝13时取“＝”．]12．D [∵x ∈(0,3)，∴x －1∈(－1,2)， ∴(x －1)2∈[0,4)，∴f (x )＝(x －1)2＋1(x －1)2－1≥2(x －1)2·1(x －1)2－1＝2－1＝1.当且仅当(x －1)2＝1(x －1)2，且x ∈(0,3)，即x ＝2时取等号，∴当x ＝2时，函数f (x )有最小值1.] 13．－2解析 ∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2.14．－2<a ≤2解析 当a ＝2时，－4<0恒成立，∴a ＝2符合． 当a －2≠0时，则a 应满足： ⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0解得－2<a <2. 综上所述，－2<a ≤2. 15．5≤a <7解析 先画出x －y ＋5≥0和0≤x ≤2表示的区域，再确定y ≥a 表示的区域．由图知：5≤a <7. 16．20解析 该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x 次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为(400x·4＋4x )万元，400x ·4＋4x ≥160，当1 600x＝4x 即x ＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．17．解 ∵(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a－a＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)(1b －1a)＝(a 2－b 2)a －b ab ＝(a －b )2(a ＋b )ab又∵a >0，b >0，a ≠b ，∴(a －b )2>0，a －b >0，ab >0， ∴(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )>0，∴a 2b ＋b 2a>a ＋b . 18．证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0， c ＋a ≥2ac >0，∴(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc >0.∴abc (a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≤18 即(a a ＋b )·(b b ＋c )·(c c ＋a )≤18. 当且仅当a ＝b ＝c 时，取到“＝”．19．解 不等式axx －2>1可化为(a －1)x ＋2x －2>0.∵a <1，∴a －1<0，故原不等式可化为x －21－ax －2<0.故当0<a <1时，原不等式的解集为{x |2<x <21－a}，当a <0时，原不等式的解集为{x |21－a<x <2}． 当a ＝0时，原不等式的解集为∅.20．解 设t ＝x ＋2，从而x ＝t 2－2(t ≥0)，则y ＝t2t 2＋1.当t ＝0时，y ＝0；当t >0时，y ＝12t ＋1t ≤12 2t ·1t ＝24.当且仅当2t ＝1t ，即t ＝22时等号成立．即当x ＝－32时，y max ＝24.21．解 (1)设DN 的长为x (x >0)米， 则AN ＝(x ＋2)米．∵DN AN ＝DCAM ，∴AM ＝3(x ＋2)x， ∴S AMPN ＝AN ·AM ＝3(x ＋2)2x ，由S AMPN >32，得3(x ＋2)2x>32.又x >0，得3x 2－20x ＋12>0，解得：0<x <23或x >6，即DN 长的取值范围是(0，23)∪(6，＋∞)．(2)矩形花坛AMPN 的面积为 y ＝3(x ＋2)2x ＝3x 2＋12x ＋12x＝3x ＋12x ＋12≥23x ·12x＋12＝24，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时，矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24.故DN 的长为2米时，矩形AMPN 的面积最小， 最小值为24平方米．22．解 设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x 吨、y 吨，获得利润z 万元．依题意可得约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤3604x ＋5y ≤2003x ＋10y ≤300x ≥0y ≥0作出可行域如图.利润目标函数z ＝6x ＋12y ，由几何意义知，当直线l ：z ＝6x ＋12y 经过可行域上的点M 时，z ＝6x ＋12y 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋10y ＝3004x ＋5y ＝200，得x ＝20，y ＝24，即M (20,24)．答 生产甲种产品20吨，乙种产品24吨，才能使此工厂获得最大利润．。