（4）局部荷载对结构影响范围大，内力分布均匀。 关于超静定结构的几点说明 （1）多余是相对保持几何不变性而言，并非真正多余。 （2）内部有多余联系亦是超静定结构。 （3）超静定结构去掉多余联系后，就成为静定结构。 （4）超静定结构应用广泛。
第七章
图7－4
力
法
第七章
力
法
§7-2 超静定次数的确定
1．超静定次数（n） 超静定次数 n = 多余约束数（几何构造分析） （变原结构成静定结构所需撤除的约束）
X1
Δ1=0
XA MA A YA
〒
δ11 B
（b）
×X 1
+
q
X1 =1
Δ11=δ11X1
Δ1P
位移Δ1、Δ1P和Δ11的符号都以沿 假定的X1方向为正。
第七章
力法的基本方程
力
法
δ11X1+Δ1P = 0
δ11 ∆1P
单位约束力作用下，基本结构去掉约束处的位移 荷载作用下，基本结构去掉约束处的位移
M P图
2 3
2 N3
于是有 X 3 0
两端固支梁在竖向荷载作用下没有水平反力 典型方程改写为
11 X 1 12 X 2 1 P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
物理意义： 基本结构 在全部多余未知力和荷载的共同作用下，在去掉各 多余联系处沿各多余未知力方向的位移，应与原结构 相应的位移相等。
第七章
力
法
推广到 n 次超静定结构 基本未知量X1，X2……Xn 则力法典型方程（正则方程） ——规则的形式 ——具有代表性、反映共性的形式
11 x1 12 x2 … 1n xn 1P 0 21 x1 22 x2 … 2n xn 2 P 0 …… n1 x1 n2 x2 L nn xn nP 0
3
3
第七章
力
法
δ 11
a 6 EI1
3
△1P
δ 12 δ 21 δ 22
a3 3 Pa 4 EI1 △2 P
3
5 Pa 96 EI1
3
5a 6 EI1
16 EI1
第七章
力
法
由以上计算可以看出：典型方程中，每个 系数和自由项均含有1/EI，可以消去。 由此可知：——在载荷作用下，超静定结 构的内力只与各杆的刚度相对值有关，而 与其刚度绝对值无关。
ds
FN i FNP EA ds

kFSi FSp GA
结构的刚度越小，位移（影响）系数就越 大 ——又称为柔度系数；
对不同具体结构， 所需计算的项是不同的： （剪力项一般均略去） 梁、刚架 ——只计M一项； 桁架 —— 只有FN一项； 组合结构 ——（梁式杆）只计M一项； （ 链杆）只有FN一项；
P i i
第七章
力
法
例7- 1. 求解图示两端固支梁。 解：取简支梁为基本体系 力法典型方程为：
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 X X X 0 31 1 32 2 33 3 3P
多余联系（约束）中产生的力，所谓‘多余’——仅 就保持几何不变性而言
第七章
3.超静定结构的类型
梁 桁架 拱 刚架 组合结构
力
法
第七章
力
法
4．求解超静定结构的三个方面条件:
(1)平衡条件 ——各部分受力状态满足平衡方程
(2)几何条件 （变形或位移条件、协调条件、相容条件） ——位移满足支承约束和变形连续 (3)物理条件（胡克定律） ——变形或位移－－－力之间的物理关系
典型方程——系数和自由项 ——用单位荷载法计算
ii
M i2 EI ds
2 FNi EA ds 2 kFSi GA ds
ij ji
ip

EI
Mi M j EI
ds

FNi FNj EA
ds

kFSi FSj GA
ds
ds

Mi M p
第七章
5．求解方法
两种基本方法：
力
法
力 法——以多余未知力为基本未知量；
位移法——以结点位移为基本未知量
其他方法： 力矩分配法——以位移法为理论基础的渐近解法 矩阵位移法——适于计算机的矩阵表示的位移法 混合法——力法与位移法的联合应用
第七章
力
法
超静定结构的特点 （1）结构的反力和内力只凭静力平衡方程不能确定或不能完 全确定 （2）除荷载之外，支座移动、温度改变、制造误差等均引 起内力。 （3）多余联系遭破坏后，仍能维持几何不变性。
11 x1 12 x2 … 1n xn 1P 0 21 x1 22 x2 … 2n xn 2 P 0 …… n1 x1 n2 x2 L nn xn nP 0
柔度系数： 主系数 δii>0 副系数 δij(i≠j)——正，负，零 δij=δji——对称矩阵
MAC中=(3Pa/88+15Pa/88)/2-Pa/4=-13Pa/88
讨论：
1、基本结构选择不是唯一的， 但必须是静定的 ——几何不变，无多余约 束 2、基本未知量与撤除的约束相 对应（方向；数目）
第七章
力
法
3.解题步骤： （1）确定超静定次数， 确定基本体系——基本未知量Xi （2）作MP ——荷载单独作用； Mi ——xi＝1单独作用 （3）求位移系数 △iP,δij （4）代入力法方程——求解xi M M X M （5）结果： （M→FS→FN）
补充方程数目： （静力分析） 多余未知力数 = 未知力数 — 独立的平衡方程数 如图：
第七章
力
法
2．确定超静定次数 ——解除多余约束→→静定结构 解除方式： （1）去除一根支杆或切断一根链杆 ——相当去除一个约束。 （2）去除一个铰支座或去除一个单铰 ——相当去除二个约束。 （3）去除一个固定端或切断一个梁式杆 ——相当去除三个约束。 （4）变刚结为铰结/链杆 ——相当去除一/二个约束 （5）将固定支座改为铰支座或将刚性联结改为铰联结 ——相当于去掉一个联系。
力
法
M P M1 1 1 ql 2 3 ql 4 1P＝ ds ( l) l EI EI 3 2 4 8EI
M 1 1 2 l3 11＝ ds [ l l l ] EI EI 2 3 3EI
2 1
第七章
（3）力法方程求解
力
法
△1P ql 4 3EI 3 x1 ( ). 3 ql δ 11 8EI l 8
EI
基本体系
单位和荷载弯矩图 M i , M P 为：
由于 M 3 0 , FQ 3 0 FN1 FN 2 FNP 0 所以
13 31 23 32 3 P 0
又由于
FP
FP ab l
M ds F ds 33 EI EA FS23ds l k 0 GA EA
δ 11
1 a 2a a 2 EI1 2 3 6 EI1 1 a a a 2 EI1 2 4 EI1
2 3 2 3
2
3
δ 12 δ 21
1 1 a 2a 5a 2 δ 22 = a a 2 EI1 EI1 2 3 6 EI1
1 1 Pa a 5a 5Pa △1P ( ) 2 EI1 2 2 2 6 96 EI1 △2 P 1 1 Pa a Pa ( )a 2 EI1 2 2 2 16 EI1
计算自由度：n = -w
第七章
§7-3 力法的基本概念
力
法
力法——计算超静定结构最基本的方法 基本思路 超静定结构内力计算 → →静定结构的 内力/位移 计算
力法中的三个基本概念：（以超静定梁为例）
第七章
力
法
1、找出关键问题——力法的基本未知量
多余未知力当作处于关键地位的未知力—称为力法的基 本未知量，以Xi表示
第七章
试选取另一基本结构求解：
q
A EI B
力
法
x1
q
l 原结构 基本结构
第七章
§7-4 力法的典型方程 以三次超静定刚架为例 （1）取基本体系 ——P，X1，X2，X3 （2）变形条件 Δ1=0 Δ2 = 0 Δ3 = 0
力
法
第七章
力
法
（3）考虑基本体系在各力单独作用时的位移： △1 = △11+△12 +△13 +△1P △2 = △21+△22+△23 +△2P △3 = △31 +△32 +△33 +△3P 荷载P： △1P ，△2P ，△3P X1 =1——δ11，δ21 ，δ31 X1：△11=δ11 X1、△21=δ21 X1、△31=δ31 X1 X2=1——δ12，δ22 ，δ32 X2：△12 =δ12 X2、△22=δ22 X2、△32=δ32 X2 X3=1——δ13，δ23 ，δ33 ， X3：△13=δ13 X3、△23=δ23 X3 、△33=δ33 X3
第七章力Biblioteka 法由叠加原理得各力的共同作用 △1=δ11 X1+δ12 X2+δ13 X3 +△1P △2=δ21 X1+δ22 X2+δ23 X3 +△2P △3=δ31 X1+δ32 X2+δ33 X3 +△3P
第七章
（4）力法基本方程
力