石家庄市2017-2018学年质检二
文科数学答案
一、选择题
1-5BACBD 6-10ADBBA 11-12DA
二、填空题
13.2
5
14．3 1513
(,)24
-16
．
三解答题 17、
解：（1）在△ABC
中sin sin tan tan 2cos cos A B
A B A B =+=+ 分
sin cos +sin cos cos cos A B B A
A B
=
…………………4分
1tan 6sin cos 3
A A A A π∴
= 则：＝分
（2）由BD=5，DC=3，7a =,得259491
cos 2352BDC +-∠=
=-
⨯⨯…………………8分
2103BDC π
∴∠=
分
5123A ABD c π
∴∆∴= 又＝为等边三角形分
18、
答案：（1）由题可知11,3x y ==，………… 1分
将数据代入()()
n
i
i
x x y y r --=
∑74.574.5
0.99518.44 4.0674.8664
r =
=≈⨯
………………3分
因为y 与x 的相关系数近似为0.995，说明y 与x 的线性相关性很强，从而可以用回归模型拟合y 与x 的的关系.（需要突出“很强”，“一般”或“较弱”不给分）……………5分
（2）将数据代入1
2
1
()()
ˆ()
n
i
i
i n
i
i x x y
y b
x x ==--=-∑∑得74.5
ˆ0.219340
b
=≈ ……… 7分
ˆˆ30.219110.59a
y bx =-=-⨯≈……………… 9分 所以y 关于x 的回归方程ˆ0.220.59y
x =+…………… 10分 由题ˆ0.220.596y
x =+>解得24.59x >，即至少需要投入促销费用24.59万元. ……………… 12分
（说明：如果ˆ0.22,b
≈ ˆ0.58a ≈ ，ˆ0.220.58y
x =+，导致结果不一致，第二问整体得分扣1分）
19.证明：（1）连接1BC 交1B C 于O ，连接AO
侧面11BB C C 为菱形，∴11B C BC ⊥
1AB AC =，O 为1BC 的中点，∴1AO BC ⊥ …………2分
又1BC AO O ⋂=，∴1BC ⊥平面1ABC ，…………4分 1BC ⊂平面11BB C C ∴平面1
ABC ⊥平面11BB C C .………5分 （2）由1
A B BC ⊥，1BO B C ⊥，AB BO B ⋂=，∴1B C ⊥平面ABO ，AO ⊂平面ABO ∴1AO B C ⊥，又1AO BC ⊥，11BC B C O ⋂=，∴AO ⊥平面11BB C C .…………7分 菱形11BB C C 的边长为2且0160CBB ∠=，
∴BO = 2AB BC ==1AO ∴=又1CO =
，AC =，
111ABC A B C S S ∆∆==
, …………9分 设点B 到平面111A B C 的距离为h 由11111111B A B C A BB C A BB C V V V ---==
得111221332h =⋅⋅⋅.…………11分
h ⇒=
∴点B 到平面111A B C
. .…………12分
20
解：（1）由已知可得圆心),(:b a C ，半径23=r ，焦点)2
,0(p
F ，准线2p y -=
因为圆C 与抛物线F 的准线相切，所以2
23p
b -=，…………………2分
且圆C 过焦点F ，
又因为圆C 过原点，所以圆心C 必在线段OF 的垂直平分线上，即4p
b =
……………4分
所以4
223p
p b =-=
，即2=p ，抛物线F 的方程为y x 42=………………………5分 （2）易得焦点)1,0(F ，直线L 的斜率必存在，设为k ，即直线方程为1+=kx y
设),(),,(2211y x B y x A
⎩⎨⎧=+=y
x kx y 41
2
得0442=--kx x ，0>∆，4,42121-==+x x k x x …………… 6分 对4
2x y =求导得2'
x y =，即21x k AP =
直线AP 的方程为)(2111x x x y y -=
-，即2
114
12x x x y -=， 同理直线BP 方程为2224
12x x x y -=
设),(00y x P ，联立AP 与BP 直线方程解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-===+=1422210210x x y k x x x ，即)1,2(-k P ……………8分 所以
)1(412212k x x k AB +=-+=，点
P 到直线AB 的距离
22
212122k k k d +=++=
…………10分
所以三角形PAB 面积4)1(412)1(42
1
23
222≥+=+⋅+⋅=k k k S ，当仅当0=k 时取等号
综上：三角形PAB 面积最小值为4，此时直线L 的方程为1=y 。

…………… 12分
21解：（1）)1
1(ln 2)('x x x f -+=，令其为)(x g ，则0)1
1(2)('2>+
=x
x x g 所以可得)(x g
即)('x f 单调递增，………………………2分
而0)1('=f ，则在区间)1,0(上，0)('<x f ，函数)(x f 单调递减；在区间),1(+∞上
0)('>x f ，函数)(x f 单调递增 . ………………4分
（2）)1ln 2)(1()(2x x a x x x f -+-=，另x
x a x x h 1
ln 2)(2-+=，可知0)1(=h ， 22
2'()ax x a
h x x
++=，令2()2g x ax x a =++， . ………………6分 ① 当1-≤a 时，结合()g x 对应二次函数的图像可知，()0g x ≤，即()0h x '≤，所以
函数()h x 单调递减，(1)0h = ，(0,1)x ∴∈时，()0h x >，(1,)x ∈+∞时，()0h x <， 可知此时()0f x ≤满足条件. ………………8 ② 当0≥a 时，结合()g x 对应二次函数的图像可知，可知0)('>x h ，)(x h 单调递增，
(1)0h = ，(0,1)x ∴∈时，()0h x <，(1,)x ∈+∞时，()0h x >，，可知此时()0f x ≤不成立. …………10分
③ 当01<<-a 时，研究函数2()2g x ax x a =++，可知0)1(>g ，对称轴
11
>-
=a
x ， 那么)(x g 在区间)1,1(a -大于0，即)('x h 在区间)1,1(a -大于0，)(x h 在区间)1,1(a -单调递增，0)1()(=>h x h ，可知此时0)(>x f ，所以不满足条件.
综上所述：1-≤a . …………12分 22.
解：（1）曲线1C 的普通方程为1)12
2=+-y x （，1C 的极坐标方程为,cos 2θρ=….3分
2C 的极坐标方程为αρ22
sin 18
+=………5分
（2）联立)0(≥=ραθ与1C 的极坐标方程得α22
cos 4=OA ，
联立)0(≥=ραθ与2C 的极坐标方程得2
28
1sin OB α
=
+，……7分
则2
2
OA OB -= αα224cos -sin 18+=)sin -14-sin 182
2αα（+ =8-)sin 14sin 182
2αα+++（…………………9分
.8288)sin 1(4)sin 18(22
2
-=-+⨯+≥αα
（当且仅当12sin -=α时取等号）.
所以2
2
OA OB -的最小值为.828-…….10分 23.
解：)1(当1=a 时，⎪⎪⎪
⎩⎪
⎪⎪⎨⎧
>≤≤--<-=.21,4,2121,2,21,4)(x x x x x x f …………………2分
当21
-
<x 时，2)(≤x f 无解； 当2121≤≤-x 时，2)(≤x f 的解为2
121≤≤-x ；
当2
1
->x 时，2)(≤x f 无解；
综上所述，2)(≤x f 的解集为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧≤≤-
212
1
x x ………….5分 )2(当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈2,21a x 时，1)12()2()(+=++-=a x x a x f
所以)()(x g x f ≥可化为)(1x g a ≥+………….7分
又34)(2
-+=ax x x g 的最大值必为)21-(g 、)2
a (g 之一
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+-≥+∴)
2(1)21(1a
g a g a ……………………9分 即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥23
4
2a a 即.234≤≤-a
又,1->a 所以.21≤<-a 所以a 取值范围为(]2,1-………10分。