|
a
+
1 n
x
a fn (t )dt | dx
ò ò =
a
+
1 n
n(
x
-
a
)dx
+
b
dx
a
a
+
1 n
=b-a- 1
2n
Therefore || T ||³ sup || Tfn ||L = b - a.
n
• Proposition.
Linear operator T : ( X ,|| × ||) ® (Y ,|| × ||)
Þ T : X ® X是线性算子.
•例
1
y(s) = ò k(s, t)x(t)dt, k( , ) Î C([0,1]´[0,1]) 0
定义算子 A : C[0,1] a C[0,1] 如下
1
A : x(t) a y(s) = ò k(s, t )x(t)dt, 0
满足 A(a x1 + b x2 ) = a Ax1 + b Ax2 .
=
æ
ç
A
ç ç
x1 x2 M
ö ÷ ÷ ÷
ççè yn ÷÷ø ççè an1 an2 L ann ÷÷ø ççè xn ÷÷ø
ççè xn ÷÷ø
由此可知,在有限维线性空间上,如果将基选定后,
线性算子与矩阵是相对应的.
•例
X :[a, b]上全体多项式所成的线性空间,
定义微分算子 Tx(t) = x¢(t), x Î X
Tx关于这个基的坐标是(y1, y2 , ..., yn ).
n

n
å å x = xkek , Tx = ykek :
k =1
k =1
æ ç ç ç
y1 y2 M
ö ÷ ÷ ÷
=
æ ç ç ç
a11 a21 L
a12 a22 L
L L L
a1n a2n L
öæ ÷ç ÷ç ÷ç
x1 x2 M
ö ÷ ÷ ÷
• X ,Y是赋范空间, T : X ® Y 是有界线性 算子,定义 T 的范数:
|| T ||= sup || Tx || x¹0 || x ||
• 等价地,
|| T ||= sup || Tx ||= sup || Tx ||
|| x||£1
|| x|| =1
= inf{M ³ 0 : || Tx ||£ M || x ||, "x Î X }
a
|
a
a
f (t)dt |dx
ò òb x
£ | f (t) | dtdx aa
ò ò ò b b
b
£ | f (t) | dtdx = 1dx = b - a
aa
a
Þ|| T ||£ b - a.
On the other hand , for any n Î N : a + 1 < b, n
we define fn ( x) as follows,
n
å "x = ( x1, x2 , ...) Î l1,
x
=
lim
n®¥
k =1
xk ek
"f Î (l1 )* , hk = f (ek ), k = 1, 2, ...
Þ|hk |£|| f || × || ek ||1 =|| f ||
Þ h = (h1,h2 , ...) Î l ¥ , ||h ||¥ £|| f || .
x
(Tf )( x) = òa f ( x)dt
T : L[a, b] ® C[a, b]线性算子, 且 || T ||= 1.
In fact, "f Î L[a, b]：|| f ||L = 1
|| Tf
||C[a,b] =
max | (Tf
xÎ[a ,b]
)( x) |
òx
£ max | f (t) | dt xÎ[a ,b] a
Þ B( X ,Y ) - - - -赋范线性空间
定理 设X是赋范线性空间,Y是Banach
空间,那末B( X ,Y ) 是Banach空间.
定义 设X是赋范线性空间,X上的连续 线性泛函全体记做 X *,它按通常的线 性运算及泛函的范数构成一个赋范线 性空间,称 X *为X的共轭空间.
定理 设X是赋范线性空间, 那末
n
å x = xkek Þ
å k =1 n
Tx =
xkTek
=
(Te1 ,
...,Ten
æ
)
ç ç
x1 M
ö ÷ ÷
k =1
çè xn ÷ø
=
(e1
,
...,
en
)
æ ç ç
a11 L
L L
a1n L
ö ÷ ÷
æ ç ç
x1 M
ö ÷ ÷
çè an1 L ann ÷ø çè xn ÷ø
x关于这个基的坐标是(x1 , x2 , ..., xn );
• B(X,Y): 有界线性算子 T :X ® Y 的集合.
对T , S Î B( X ,Y ), a Î K , 定义算子 T + S, aT 如下:
(T + S )x = Tx + Sx, "x Î X ; (aT )x = aTx, "x Î X 易知,T + S, aT Î B( X ,Y ), 且
X * = B( X , K ) 是Banach空间.
• 赋范线性空间X和Y,映射 j : X ® Y :
"xÎX 有|| j( x) ||=|| x || ,则称 j 是X到
Y的一个保范映射.若 j : X ® Y 保范、
线性、双射,则称 j 是X到Y上的同构
映射.如果空间X到Y之间存在一个从X 到Y上的同构映射,则称X和Y是同构的.
B( X ,Y ) - - - -线性空间
T , S Î B( X ,Y ), a Î K , 满足 : (1) || T + S ||£|| T || + || S ||
(2) || aT ||=| a | × || T || (3) || T ||³ 0, || T ||= 0 Û T = 0.
ì n, fn ( x) = íî0,
x
Î [a, a
+
1 n
]
x
Î
(a
+
1 n
,
b]
It is easy to see that
|| f ||L = 1
and
bx
ò ò || Tfn ||L =
|
a
a
fn (t )dt | dx
ò ò ò ò =
| a
+
1 n
a
x
b
a
fn (t )dt | dx +
• X ,Y 是赋范空间, T : X ®Y是有界线性 算子,若 $ M ³ 0, s.t.,
|| Tx ||£ M || x ||, "x Î X
则称 T 是有界的. • 等价于 T 将有界集映成有界集. • B(X,Y): 有界线性算子 T; X ® Y 的集合. • 定理 Y完备,B(X,Y)是Banach空间.
作映射j : (l1 )* ® l ¥ ,
j : f a h = (h1,h2 , ...) 是同构映射.(Proof)
既然 (l1 )* 和l ¥ 同构，我们把 (l1 )* 和 l ¥ 同一化，所以可以说 l1 的共轭空间是 l ¥ ，
即 (l1 )* = l ¥ 。应注意，(l1 )* = l ¥ 只是同构意 义下的等式，所以在运用这些“等式”去探 讨其它问题时，还必须把同构映射同时加 以考虑，忽视这一点将会发生错误。
|| x ||£1
令r = inf{M ³ 0 : || Tx ||£ M || x ||, "x Î X }
} Þ|| Tx ||£ r || x ||Þ|| T ||£ r Þ || T ||= r .
|| Tx ||£|| T || × || x || Þ r £|| T ||
•例
f Î L[a, b],
• 1） 若T : Rn ® Rn是线性算子,
Tei是e1 , e2 , ..., en的线性组合
Þ $ aij , s.t.,
Te1 = a11e1 + a21e2 + ... + an1en
...... Te2 = a12e1 + a22e2 + ... + an2en
Ten = a1ne1 + a2ne2 + ... + annen
Þ
f ( x) = lim n®¥
f ( xn ) = 0
Þ x Î N ( f ).
2) 若N ( f ) = N ( f ). 设 sup | f ( x) |= ¥
|| x|| =1
Þ $xn : || xn ||= 1, s.t., | f ( xn ) |³ n
令
yn =
xn f ( xn )
s.t., || Tx ||£|| T || × || x ||< e
Þ T在点x = 0是连续的.
2) 若T在点x0 = 0是连续的."x Î X 如果xn ® x, 则xn - x ® 0. Þ T ( xn - x) = Txn - Tx ® 0
Þ Txn ® Tx ( n ® ¥ )
3) 若T是连续的线性算子,
ò 例
x