第二章 有界线性算子与线性泛函
教学目的： 掌握有界线性算子的基本性质和算子空间 B(X,Y)的性质。 授课要点： 1、 线性算子有界的等价条件。 2、 算子空间B(X,Y)的范数与基本性质。 3、 求算子范数的某些常见方法。
定义1: 设X，Y 是线性赋范空间，T：X→Y 是线性算子。T 称为是有界的，若对于X中的任 一有界集A范空间，T： X→Y 是线性算子，则下列诸条件等价： (1) T 在某一点 x 0连续. (2) T 在X 上连续. (3) T 是有界算子. (4) T 在X 的某一点的有界邻域内有界. 特别地， T 在X 的单位球中有界.
(5) 存在c＞0 使得 ||Tx|| ≤ c ||x|| , ∀x ∈ X. （1） 若T = f 是X 上的线性泛函并且f ≠ 0 , 则 以上诸条件还等价于： (6) f 的0 空间N( f ) = {x ∈ X; f (x) = 0} 是X 中的闭集. (7) N( f ) 不在X 中稠密.