圆锥曲线的综合应用及其求解策略有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有：①、定点与定值问题；②、最值问题；③、求参数的取值范围问题；④、对称问题；⑤、实际应用问题。

解答圆锥曲线的综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的相关知识，将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、不等式、函数等），再结合代数知识去解答。

解答过程中要重视函数思想、方程与不等式思想、分类讨论思想和数形结合思想的灵活应用。

一、定点、定值问题：这类问题通常有两种处理方法：①、第一种方法：是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；②、第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。

★【例题1】（2007年高考〃湖南文科〃19题〃13分）已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A 、B 两点，又已知点C 的坐标是(10)，．（I ）证明CA 〃CB 为常数；（II ）若动点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程．◆解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，． （I ）当AB 与x 轴垂直时，可求得点A 、B的坐标分别为(2，(2，，此时则有(12)(11CA CB =⨯=-，．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=，则有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++--22(42)411k k =--++=-．∴ 综上所述，CA CB 为常数1-．（II ）设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =-，，22(1)CB x y =-，，(10)CO =-，，由CM CA CB CO =++得：121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为222x y +⎛⎫⎪⎝⎭，．当AB 不与x 轴垂直时，12122222yy y y x x x -==---，即1212()2y y y x x x -=--． 又因为A 、B 两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．将1212()2yy y x x x -=--代入上式，化简得224x y -=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程．所以点M 的轨迹方程是224x y -=． ▲ 点拨：本题中“CA 〃CB 为常数”的证明，采用特殊位置“当AB 与x 轴垂直时”可轻易得出CA 〃CB = -1；接下来再从一般情况“当AB 不与x 轴垂直时”去加以论证，有了明确的目标，推理计算就要容易得多了！★【例题2】已知A,B 为椭圆22221x y a b +=(a>b>0)和双曲线22221x y a b-=的公共顶点,P,Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A,B 的动点,且有→AP+→BP=λ(→AQ+→BQ)(λ∈R,|λ|>1),设AP,BP,AQ,BQ 斜率分别为k 1,k 2,k 3,k 4,求证:k 1+k 2+k 3+k 4为一个定值.◆解、点A(-a,0)；B(a,0)；∵由→AP+→BP=λ(→AQ+→BQ),依据向量加法的平行四边形法则,则有O 、Q 、P 三点共线；设P(x 1,y 1)、Q （x 2，y 2）,则x 12a 2 - y 12b 2 =1,则x 12-a 2= a 2b 2〃y 12；∴ k 1+k 2 = y 1x 1+a + y 1x 1-a = 2x 1y 1x 12-a 2 = 2b 2a 2〃x 1y 1；同样有k 3+k 4= -2b 2a 2〃x 2y 2；由于x 1y 1 = x 2y 2，∴ 所求的定值为0。

▲ 点拨：本题中的特殊位置难以确定，因而采用直接推理、计算；并逐渐化简，从而得到其定值为0。

二、最值问题：常见解法有两种：几何法与代数法。

①若题目中的条件或结论能明显体现某种几何特征及意义，或反映出了某种圆锥曲线的定义，则直接利用图形的性质或圆锥曲线的定义来求解，这就是几何法；②将圆锥曲线中的最值问题通过建立目标函数，转化为二次函数或三角函数的最值问题，再充分利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等相关知识去求解。

★【例题3】、抛物线x 2=4y 的焦点F 和点A(-1,8),P 为抛物线上一点,则|PA|+|PF| 最小值是( )A 6B 9C 12D 16▲若将上题中点A 的条件改为A(3,1),其它不变,则应为____◆ 解析：由抛物线定义，可知当A 、P 、H （如图1）三点共线时，|PA|+|PF|最小，其最小值为9。

▲条件改动之后，则当A 、P 、F 三点共线时（如图2），|PA|+|PF|最小，其最小值为3。

▲ 点拨：本题的求解，主要是扣住了抛物线的定义，充分挖掘图形的特征，从而解决所求之问题。

运用几何法求解，解答过程简单、明了，但对综合运用图形的几何性质（或把握曲线定义的灵活运用）的能力要求较高。

★【例题4】（2007年安徽高考题）设F 是抛物线2:4G x y =的焦点．设A 、B 为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C 、D ，求四边形ABCD 面积的最小值． ◆解：设11()A x y ，，22()C x y ，；由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >． 因直线AC 过焦点(01)F ，，所以直线AC 的方程为1y kx =+．点A 、C 的坐标满足方程组214y kx x y =+⎧⎨=⎩，，得2440x kx --=，由根与系数的关系知121244.x x k x x +=⎧⎨=-⎩，则有：24(1)AC k ===+．因为A C B D ⊥，所以BD 的斜率为1k -，从而BD 的方程为11y x k=-+．同理可求得22214(1)41k BD k k ⎛⎫+⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴2222218(1)18(2)322ABCD k S AC BD k k k +===++≥．当1k =时，等号成立．所以，四边形ABCD 面积的最小值为32．▲ 点拨：本题首先通过计算，建立好四边形ABCD 面积的函数表达式，然后根据其函数特征，转化出均值不等式的形式，再利用均值不等式求出其最小值。

★【例题5】（2007年全国高考题〃12分）在直角坐标系xOy 中，以O为圆心的圆与直线4x =相切．（1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB 的取值范围．◆解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O到直线4x =的距离，即2r ==；得圆O 的方程为224x y +=．（2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，，，．由24x =即得(20)(20)A B -，，，． 设()P x y ，，由PA PO PB ，，222(2)x x y -+=+，即222x y -=．(2)(2)PA PB x y x y =-----，，224x y =-+22(1).y =-由于点P 在圆O 内，故222242.x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩，由此得21y <．所以PA PB 的取值范围为[20)-，． ▲ 点拨：本题同样是先通过计算，建立好“PA PB ”的函数表达式，然后依据“点P 在圆O 内”，得出相应的约束条件“21y <”，从而得出所求。

三、求参数的取值范围范围问题：求参数的取值范围问题，常用的解决方法有两种：①、第一种是不等式（组）求解法⇒根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）再得出参数的变化范围；②、第二种⇒是函数的值域求解法：把所讨论的参数表示为某个变量的函数，通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。

★【例题6】、若圆x 2+(y-1)2= 1上的任一点P(x,y),有不等式x+y+c ≥0恒成立，则c 的取值范围是_____◆解：可设cos sin 1x y θθ=⎧⎨=+⎩；则有cos θ+sin θ+1+c ≥0恒成立，即有c ≥ -(cos θ+sin θ+1)恒成立， ∴ c≥ 2 -1为所求。

▲ 点拔：本题通过圆的参数方程进行三角代换，将所求问题转化成求三角函数的最值的问题，从而简捷易解。

★【例题7】（2007年福建高考题〃14分）如图，已知(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ． （1）已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值； （2）求MA MB 的最小值．◆解析：（Ⅰ）由QP QF FP FQ =得：()0FQ PQ PF +=，()()0PQ PF PQ PF ∴-+=，220PQ PF ∴-=，PQ PF ∴=．所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：24y x =． （Ⅱ）、（1）：由已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，得120λλ<．则：12MA AF MB BFλλ=-．…………①过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，则有：11MA AA AF MBBB BF==．…………②；由①、②得：12AF AF BF BFλλ-=，即120λλ+=． （Ⅱ）、（2）：设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，联立方程组24y x x my ⎧=⎨=⎩消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，121244y y y y +=⎧⎨=-⎩．∴(2121M M MA MB y y y y =--221212(1)()M M m y y y y y y =+-++2224(1)44m m m m =+-+⨯+224(1)4m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222214(2)4216m m m ⎛=+++= ⎪ ⎪⎝⎭≥． 当且仅当221m m=，即1m =±时等号成立，所以MA MB 最小值为16． ▲ 点拨：本题中“求12λλ+的值”，首先是建立好条件不等式组，再化简计算得出所求。