(1) x 的y最小值;
(2) x 2 的y最2 小值;
(3) x2y2(x3)2(y3)2 的最小值;
求 x 的y最小值;
函数的思想 线段AB：y4x4(0x3)
4B 3P
3
3
OA
1
x y x4
3
线性规划
0x3
3xy4
令 axy
则 yxa
(xy)min3
求 x 2 的y 2最小值;
函数的思想 线段AB：y4x4(0x3)
12 3
的焦点为焦点作椭圆E.
(1)P在何处时，E的长轴最短？
(2)求长轴最短时的椭圆E方程.
(1)F 1(3,0),F 2(3,0)
作F1关于l的对称点F1(9, 6)
则 PF1 PF2
PF1 PF2
F
1
P
P
P, F1, F2三点共线时
F1
(P F 1P F 2)m inF 1 F 265
即 (2a)min 6 5
右准线 x 8,e 1
2
所以 MP 2MF
F
PM N
M
N
x8
MP MN
因此，当P,M,N三点共线时，
M P2M F有最小值为7.
4、已知椭圆x 2
y
2
内 有1 一点
16 12
P(1, 1)，
F为右焦点，在椭圆上求一点M，使
|MP|2|MF|的值最小，最小值为 ７
F P
M
bian
已知点A(3,0)、B(0,4)，动点 P(x ,y)在线段AB上.求:
3
4B P H 3
OA
x2y225(x48)2144 9 25 25
(x2
y2)min
144 25
数形结合
x 2 y 2 表示O、P距离的平方. 故最小值为OH2.
求 x2y2(x3 的)2 最(y小3 值)2;
数形结合 令M(3,3),O(0,0) 则 x2y2(x3)2(y3)2 表示P到O,M的距离之和.
距离的最值 角的最值 面积的最值
建立目标函数，运用函数 求最值的思想
列出目标量的不等式，解 出目标量的范围
根据问题的几何意义，运 用“数形结合的思想”求 解
1、F是椭圆的一个 Nhomakorabea x2 y2
a2 b2 1(ab0)
点，直线l经过原点与此椭圆交于A、
B两点，则△ABF面积最大值为 b c
注：F（c,0）
此时,由
xy90
y12 (x3)
得
P(5,
4)
xy90
O F2
( 1 ) P (5,4), (2a)m in65
( 2 ) 由(1)知 a 3 5
又c 3
F
1
P
P
故b 6
F1
所以长轴最短时，
椭圆方程为
x2
y2
1
45 36
xy90
O F2
fa2 ktlx
解析几何中的最值问题与高中数学的其他分科，诸如代 数、立体几何中的最值问题，无论是解题程序还是解题 方法都是一致的，其解题程序一般分五步骤: 一、明确所求最值的函数对象。 二、确定自变量，如自变量不止一个，需导出其间关系 突出确定自变量。 三、确定已知量，特别存在隐伏已知量时应将其表面化。
3、已知椭圆 x 2
16
y2 9
1
，
求 x + y 的最大值
哪里出现过求 x + y 的最值
令 axy
则 yxa
yxa
由 x2 y2
1 16 9
yxa
2 5 x 2 3 2 a x 1 6 (a 2 9 ) 0
令△ = 0，得 a 5
故 (xy)max 5
3、已知椭圆 x 2
16
y2 9
令△ 0，得a2 45 即a 3 5
所以 (2a)min 6 5
此时将 a 3 5代入(★), 得 P(5,4) ktxj
如果点(x,y)在圆 (x3)2上y24
移动，则 y 的最大值为
5
2x
5
ktxj
已知实数 x，y 满足 x 36y2 0
则 2 x 的y最大值为
6
ktxj
4
B P
M
P 3 OA
所以,当O,P,M三点共线时
原式有最小值为OM.3 2
A,B,P同上求 x2y2(x3)2(y3)2 的最小值;
作M关于AB的对称点M’ 则PO+PM=PO+PM’ 所以,当O,P,M’三点共线时
4
B P
M M’
3
OA
(P O P M )m inO M
在直线 l:xy90上任取一 点P，经过P点以椭圆C : x2 y2 1
1
，
求 x + y 的最大值 5
法二：参数法
令 则
x4ccooss2x , ysin23xsi n1
xy4cos3sin
5sin()
故 (xy)max 5
4、已知椭圆x 2
y
2
内 有1 一点
16 12
P(1, 1)，
F为右焦点，在椭圆上求一点M，使
|MP|2|MF|的值最小，最小值为
F P
M
a4,b2 3,c2
MF=2a-MF1
F
MP+MF
F1 P M
=MP-MF1+2a =-PF1+2a
Li 1
由题意知 c 3
所以可设椭圆方程为
x2 a2
y2 a2
9
1
由
xy90
x2
y2
(★)
a2 a2 9 1
xy90
P
F1 O F2
得 ( 2 a 2 9 )x 2 1 8 a 2 x 9 0 a 2 a 4 0
A
F B
1
Smax
•2b•cbc 2
2、P是椭圆
x2 4
y2 3
上 1的点，
F1，F2是焦点，设k=|PF1·||PF2|，
则k的最大值与最小值之差为 1
a
2,c
1,e
1, 2
设
P(
x0
,
y0
)
则
1
1
k (2 2 x0 ) • (2 2 x0 )
4
1 4
x02 , (2
x0
2)
F1
P F2
k m a x 4 , k m i n 3 , k m a x k m i n 1
四、调动所学数学知识，根据已知、未知条件列 出函数解析式并化简。 五、根据所列解析式或变形后的解析式，由其特 征而选定恰当的求最值的方法进行求解。
4、已知椭圆x 2
y
2
内 有1 一点
16 12
P(1, 1)，
F为右焦点，在椭圆上求一点M，使
|MP||2||M M F F||的值最小，最小值为 ７