7-1
一、一点处的应力状态
概 述
例1：轴向拉压杆，当求杆内任一点的应力时，若用不同方位 的截面截取，其应力是不同的。
F
A
F
m
F
A
F
m
A F

F A
A 点 横截面 m—m 上的应力为：
F A
n
m
F
A

m
F
n

F
A

A 点 斜截面 n—n 上的应力为：

cos

2
2
(122.5 , 64.6)
D1
B2
o
由 y ， y 定出 D2 点

C
B1
以 D1D2 为直径作应力圆。
2
D (0 , - 64.6)
A1，A2 两点的横坐标分别代表 a 点的两个主应力
150 MPa 27 MPa 2 0 oA oA 1 1 3 2

(122.5 , 64.6)
20
300
40
100
20
300
40
100
解：

0 100 MPa , 20 MPa , 40 MPa , 3 x y x



20
100 MPa , 20 MPa , x y 0 40 MPa , 30 x
x y x y cos 2 sin 2 x 2 2
135 mm y a
120 15 ( 150 7 . 5 ) 256000 S mm
* za 3
15
M y
Q S *Z IZd
120

IZ
9 270 15
z
横截面 C左 上a 点的应力为
a
M C 122 . 5 MPa y a a Iz
* Q S za 64 .6 MPa a Izd
§7-2 平面应力状态分析
y

y
τ
a
y
b
x
x x
x
d

c
y
平面应力状态的普遍形式如图 所示 。单元体上有 x ，x 和 y ， y。
y

y

a
y
τ
a
y
τ
y
b
b
x
x x
x
x
x
d d
c

c
y
一、斜截面上的应力

a e
y
τ
y
b
e x
x
n
x
d f

x

x
c
27 MPa 3 150 MPa 1
τ
y
σ
3
σx τ
x
σx τx α0 σ1
τ
y
120 15 9 270 15
150 mm y b
M C b 0 136 . 5 MPa y b b Iz
b 点的单元体如图所示。 b
136 . 5 MPa x
z
b
b
1 2 3
平面应力状态可定义为两个主应力不等于零的应力状态。
3、平面应力状态下主应力的计算

1 2
}
2 x y 2 ( )
x y
2
2
x
上式中将两个主应力标为 1 ，2 只是作为示意，在每一个
具体情况下应根据它们以及数值为零的那个主应力按代数值 来表示。
( 136 . 5 , 0 ) D 1
136 . 5 MP x

σ
1
136 . 5 MPa τ x 0 σ x
σy 0
τ y 0
1 所在的主平面就是 x 平面 , 即梁的横截面 C 。
解析法求 a 点的主平面和主应力
45 2 x tg ( ) 2 0 0 135 x y
120 15 9
250KN
C
1.6m
2m
15
a b
270
A
B
z
250KN
解: 首先计算支反力, 并作出
A 梁的剪力图和弯矩图 Qmax =QC左 = 200 kN
B C
1.6m
2m 200KN
Mmax = MC = 80 kN•m
+
50KN 80KM.m
+
120

IZ
9 270 15
z
6 4 120 300 111 270 a 88 10 mm I Z 12 12 3 3
D1
A2
B2
o

C
B1
A1
2
D (0 , - 64.6)
σ
3
σ1

(122.所在的主平面。
D1
A2
B2
o
2α 0
C

A1
B1
2
D (0 , - 64.6)
0 45 2 α 0
0 22 . 5 α 0
σ
3
σ1
0 22 . 5 α 0
15
M y
Q S *Z IZd
122 . 5 MPa x
τ
y
64 . 6 MPa x
σx τ
x
a
σx τ
x
σy 0
64 . 6 τy
τ
y
122 . 5 MPa 64 . 6 MPa x x
σy 0

64 . 6 τy
由 x ， x 定出 D1 点
22 .5
1
122 . 5 x a 64 . 6 x a
150 0 27 1 2 3
20 a
20
a
100
300
72.0MPa
b
40
100 40 b 35.4MPa
a 35.4MPa 40
100
72.0MPa b
20
2 2 x y sin 2 2 xcos 2
2、主平面的位置

x y x y

cos 2 2 xsin
300
40
100
x y sin 2 cos 2 x 2

0
100 ( 20 ) 100 ( 20 ) 0 0 ) ( 40 ) ) 35 . 4 M cos( 60 sin( 60 30 2 2

1 0 0 ( 2 0 ) 0 0 s i n 6 0 ( 4 0 ) c o s 6 0 7 2 . 0 M P a 0 3 0 2
的应力状态。 研究一点处位于各个截面上应力情况及其变化规律。
二、应力状态的研究方法
应力状态是通过单元体来研究的。
单元体是微小六面体。 研究受力构件中某点的应力状态时，就围绕该点截取一单元体， 通过单元体来研究过该点的各个截面上的应力及其变化规律。
1、轴向拉压
F F




横截面
2、扭转
Me
Me
1
0
x
a
x
0
22 .5
0 =
22 .5
0
67.5
0
因为 x > y
，所以
1 = -22.50
122 . 5 x a 64 . 6 x a

max min
2 x y 2 ( ) x
x y
3
x
a
2
2
x
0
150 = -27
e
dA
e
x x

dA cos x


dA
sin ydA
dA cos x
d f
d
f
sin ydA
y
y
T
设斜截面的面积为 dA , ed 的面积为 dAcos ， df 的面积为 dAsin 。
e
dA
e
x x

dA cos x
2 sin
例2：圆轴扭转任一点应力。
Me Me
横截面只有切应力
IP 在斜截面上既有正应力 ，又有切应力 。

T

例3： 平面弯曲
K
F
K
K
K
* M y S F S z K , K Iz b Iz
K
K
K
一点处的应力状态：
受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合，称为一点处

d f
n
dA
dA cos x
d f
sin ydA
sin ydA
y
y
t
2、任一斜截面 ( 截面 ) 上的应力 ， 的计算公式
对研究对象列 n 和 t 方向的平衡方程并解之得：
e
dA
e
x x

dA cos x

d f
dA
( 0 , 0 ) D 2
( 136 . 5 , 0 ) D 1
136 . 5 MP x

σ
1
136 . 5 MPa τ x 0 σ x
σy 0
B 点的三个主应力为
τ y 0
136 . 5 MPa 1 x 0 2 3
b