10 A 50 40
∴我舰的追击速度为14n mile/h 又在△ ABC 中由正弦定理得： AC
AC sin A 5 3 故 sin B BC 14
BC sin B sin A
B
5 3 B arcsin 14 5 3 ） . 故我舰行的方向为北偏东 （50 －arcsin 14
例5:我海军舰艇在A处获悉某渔船发出的求救信号后,立
即测出该渔船在方位角(指由正北方向顺时针旋转到目标 方向的水平角)为 450 ,距离A为10海里的C处,并测得渔船 正沿方位角 1050 的方向以9海里/时速度向某岛P靠拢,我 海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救,试问舰艇应 按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用时间。
正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C （R为三角形的外接圆半径）
A
c
B
b a
C
Hale Waihona Puke 余弦定理a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 c 2 a 2 2ca cos B c 2 a 2 b 2 2ab cosC
b2 c2 a 2 cos A 2bc c2 a 2 b2 cos B 2ca a2 b2 c2 cosC 2ab
在△ABC中已知什么，要求什么？ 形？
抽象数学模型
C
1.40 m
600
A
1.95m
60 20
D B
已知ABC的两边AB 1.95, AC 1.40, 夹角A 66 20, 求第三边的长 .
0
练 习 2: 已 知 △ ABC 的 两 边 AB ＝ 1.95m ， AC ＝ 1.40m，夹角A＝66°20′，求BC． 解：由余弦定理，得 A
2.方向角、方位角。
（1）.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成 的小于900的水平角叫方向角。
（2）.方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线 所成的角叫方位角。 B 300 北 A 点A在北偏东600，方位角600. 0 60 点B在北偏西300，方位角3300. 西 点C在南偏西450，方位角2250. C 点D在南偏东200，方位角1600. 450 200 南 D 东
由在H , G, 两点用测角仪测得A的仰角分别是
，，CD a, 测角仪器的高是h.
a sin 在 ACD中，AC= , sin( )
AB=AE+h =ACsin +h a sin sin = h. sin( )
问题二：测量高度问题 （2）：底部可以到达
2 则（21x） 102 (9 x) 2 2 10 9 x cos1200
A
即36x 2 9 x 10 0 2 5 解得 x1 , x2 (舍去 ) 3 12 AB 21x 14, BC 9 x 6
再由余弦定理可得
AB2 AC 2 BC 2 142 102 6 2 cosBAC 2 AB AC 2 14 10 0.9286 450 21.780 66.780 BAC 21.780 2 0 答：舰艇应以 66.78 的方位角方向航行，靠 近渔船需要 小时。 3
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。 C 坡面距离 α 水平距离 坡度（坡度比） i: 垂直距离/水平距离 坡角α: tanα=垂直距离/水平距离 垂 直 距 离
A
B
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用 :
(1)测量距离; (2)测量高度. (3)测量角度.
包含不可达到的点
问题一：测量距离问题
c
B A (A0) B C (B0) A0 A B0 C
图1
图2
练习3 解： 在ABC中由正弦定理可得
A0
60 3
B
60º
60
A
B0
C
BC sin C 60 sin 600 1 sin A AB 2 60 3
BC AB A为锐角 A 300 B 900
BC 120 cm 0 sin 30 A0 A A0C AC ( AB BC) AC 60 3 60(cm) AC
问题三：测量角度问题
例6、如图, 一艘海轮从A出发, 沿北偏东750的方向 航行67.5nmile后到达海岛B, 然后从B出发, 沿北偏 东320的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次 航行直接从A出发到达C , 此船应该沿怎样的方向 航行, 需要航行多少距离(角度精确到0.10 , 距离精 确到0.01nmile).
2018年9月6日星期四
的应用
我国古代很早就有测量方面的知识，公元 解三角形问题是三角学的基本问题之一。 解三角形的方法在度量工件、测量距离和 一世纪的《周髀算经》里，已有关于平面测量 什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形” 高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用， 的记载，公元三世纪， 我国数学家刘徽在计 和“测量”。最初的理解是解三角形的计算， 在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角 算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就 后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角 形的方法。 已经取得了某些特殊角的正弦…… 形两部分内容的一门数学分学科。
解： 设舰艇从A处靠近渔船所用的时间 x小时，
北
0 C 105
北
450

9X
则AB 21x, BC 9 x, AC 10 。 ACB 450 (1800 1050 ) 1200 由余弦定理可得
B
10
21 X
AB2 AC 2 BC 2 2 AC BC cos1200
B
A
D
例2、 为了测定河对岸两点A、B
解三角形的应用---实地测量举例
间的距离，在岸边选定a公里长 的基线CD，并测得∠BCA=α ， ∠ACD=β ，∠CDB=γ ， ∠BDA=δ ，求A、B两点的距离.
B C
A
D
分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三 角形，与AB联系的三角形有△ABC和△ABD，利 用其一可求AB。
C
B
BC 2 AB 2 AC 2 2 AB AC cos A 1.952 1.402 2 1.95 1.40 cos 66 20 3.751
BC 1.89(m)
答：顶杆BC约长1.89m。
练习3：下图是曲柄连杆机构的示意图。当曲柄CB绕C点旋 转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动。当曲柄 在CBo位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的 端点A在 A0 处。设连杆AB长为 60 3 cm,曲柄CB长为60cm, 曲柄自CB按顺时针方向旋转60º，求活塞移动的距离。
α β
C B
55
若BC=55, ∠α=510 ,α 0 ∠ β=75 ,求AB的长.
简解:由正弦定理可得
AB/sinα=BC/sinA
A
α
β
C
B
55
问题一：测量距离问题
（2）：两点都不可到达
例2、 如何测定河对岸两点A、B
解三角形的应用--实地测量举例
间的距离？
如图在河这边取一点D，构造三 角形ABD，能否求出AB?为什么？？
BC sin(90 + ) BC cos 根据正弦定理，AB= . sin( ) sin( )
0
解Rt ABD, BC cos sin 得BD=ABsinBAD . sin( ) BC cos sin CD=BD-BC= BC. sin( ) 把测量数据代人，CD 150 （m). 答：山的高度约为 150米.
（1）：有一点可到达
想一想：例1： 如何测定河两岸
解三角形的应用---实地测量举例
两点A、B间的距离？
A
B
想一想： 如何测定河两岸两点A、
解三角形的应用---实地测量举例
B间的距离？
在B的同一侧选定一点C
A
α
β
C
B
想一想： 如何测定河两岸两点A、
解三角形的应用---实地测量举例 A
B间的距离？
练习2．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油
泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的 夹角为 6 20，AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数 字）． （1）什么是最大仰角？ （2）例题中涉及一个怎样的三角 最大角度
解三角形理论 在实际问题中的应用
实际应用问题中有关的名称、术语
1.仰角、俯角、视角。
（1）.当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角 叫仰角。 （2）.当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角 叫俯角。 （3）.由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一 般这两条视线过被观察物的两端点） 视线 仰角 俯角 视线 水平线
练习2：如下图，已知半圆的直径AB=2，点C 在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上的动 点。以PC为边作等边△PCD，且点D与圆心O 分别在PC的两侧，求四边形OPDC的面积的 最大值。
D
解： 设POB ，四边形的面积为 y。
则在POC中，由余弦定理得
2 2 2
P

A O B C
PC OP OC 2 OP OC cos 5 4 cos y SOPC SPCD 1 1 1 2 sin sin (5 4 cos ) 2 2 3 5 3 sin 3 cos 4 1 3 5 3 5 3 2( sin cos ) 2 sin( ) 2 2 4 3 4 5 5 3 当 即 时，ymax 2 3 2 6 4