习惯将一般 n 阶常微分方程写成为解出高阶导数的形
式: z(n) g(t ; z, z,...z(n1) )
(1.48)
其中
z(n)

dnz dt n
, z

dz dt
,..., z(n1)

d n1z dt n1
作变换 y1 z，y2 z，...，yn z(n1) 则
本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称为 微分方程或方程.
微分方程的阶数
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数 称为微分方程的阶数.
(1) dy 2x dx
(2) xdy ydx 0
一阶微分方程； 一阶微分方程；
(3)
d2x dt 2

tx
dx dt
3


0
,初始条件通常取为:
y(x0 ) k0 , y(x0 ) k1, , y(n1) (x0 ) kn1,
其中 k0 , k1,
kn1,
为给定的常数.求F

x,
y,
dy dx
,
,
dny dxn


0的满足
初值条件的解的问题称为初值问题或Cauchy问题,记为:
为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题 的需要给微分方程附加一定的条件(称为定解条件).求满足 定解条件的求解问题称为定解问题.因为 n 阶微分方程
F
x,
y,
dy dx
,
dny
,
dxn


0
的通解中含有 n
个相互独立的任意
常数, 所以为了确定这些常数就需要附加 n 个条件.如果这 n 个条件是在某一”瞬时” x x0 给出的,则这种条件称为初始 条件.
y,
dy dx
,
dny dxn


0
在
I上的一个解。
隐式解
如果关系式 (x, y) 0 确定的隐函数 y (x), x I 是微分方程
dy d n y
F

x,
y,
dx
,
,
dxn


0
的解，则称 (x, y) 0 为该方程的隐式解。
例如，一阶微分方程 dy x dx y
dy f ( y) ，方程组 f ( y) 0 的解 y y* 表示为相空间中 的d点t ，它满足微分方程组，称之为平衡解（驻定解、常数解）
，又称为奇点（平衡点）.
对于平面一阶驻定微分方程组
dx dt

f
(x,
y)


dy dt

g(x,
y)
其相空间 (x, y) 又称为相平面.驻定方程的积分曲线有如
有解 y 1 x2 和 y 1 x2 而关系式 x2 y2 1
是原方程的隐式解。 本课程将不区分解与隐式解，统称为微分方程的解。
通解与特解 如果微分方程的解中含有任意常数，且所含的相互独立
的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称这样的解为 该微分方程的通解。
例如：y C1 sin x C2 cos x是方程 y y 0的通解. n 阶微分方程的通解的一般形式为:
一簇曲线，称为积分曲线簇。 满足初始条件 y0 (x0 )
的特解就是通过点 (x0 , y0 ) 的一条积分曲线。
积分曲线的每一点
(x, y) 上的切线斜率
dy dx
刚好等于函
数 f (x, y) 在这点的值，也就是说, 积分曲线的每一
点 (x, y) 及这点上的切线斜率 dy 恒满足方程 dy f (x, y) ；
在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程 的特解.
例如 方程 y y 0
通解 y C1 sin x C2 cos x 特解 y sin x C1 1,C2 0
y cos x C1 0,C2 1
对于
n
阶微分方程
F

x,
y,
dy dx
,
,
dny dxn
(3)
d2x dt 2
tx dx 3 dt

x

0
;
(2) xdy ydx 0 ;
(4)
d4x dt 4

5
d2x dt 2

3x

sin
t
;
如果自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏 微分方程，例如
(1) z z z ; x y
(2) 2u 2u x y uz 0 . x2 y2
y (x;C1, Cn )
其中 C1, Cn 为相互独立的任意常数.
附注2: 如果微分方程的隐式解中含有任意常数且任意常数的
个数与微分方程的阶数相同,则这样的解称为隐式通解,以 后我们也不区分通解和隐式通解,统称为微分方程的通解.
由于在通解中含有任意常数,因此它还不能完全确切 地反映实际问题的规律性.要确切地反映实际问题的规律 性,必须给通解中的任意常数赋予确切的值.
பைடு நூலகம்
dx
dx
反之，如果在一条曲线每点上其切线斜率刚好等于函
数 f (x, y) 在这点的值，则这一条曲线就是方程 dy f (x, y)
dx
的积分曲线。
设函数 f (x, y) 的定义域为D。在每一点 (x, y) D处
画上一个小线段，其斜率等于 dy 。我们把带有这种直线段 dx
的区域 D 称为由方程 dy f (x, y) 规定的方向场或线素场。 dx
§1.2 基本概念
常微分方程与偏微分方程 微分方程的阶 线性与非线性微分方程 微分方程的解 积分曲线和方向场 微分方程组 驻定与非驻定 动力系统 相空间，奇点和轨线
常微分方程与偏微分方程
如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这 样的微分方程称为常微分方程。例如
(1) dy 2x ; dx
设 I 是x 轴上的一个区间，如果函数y (x), x I
满足下列条件：
（1）(x) 是在 I 有定义且具有直到 n 阶连续的导数 (x), ,(n) (x),
（2）对任意的 x I , F (x,(x), ,(n) (x)) 0,
则称
y=
(x)为F
x,
fi (t ;
y1,..., yn ),
i 1, 2,..., n
或者用向量表示为:
dy
f (t ; y),
dt
y1
y


y2

,

yn
fi (t ; y1,..., yn )
f
(t
;
y)


fi
(t
;
y1,...,
yn
)




fi (t ; y1,..., yn )
驻定与非驻定，动力系统
如果方程组右端不含自变量 t ,即
dy f ( y), y D Rn dt
则称为驻定(自治)的,右端含 t 的方程组称为非驻定(非自治)的.
动力系统是一个映射,要满足恒同性和可加性.
相空间、奇点和轨线
不含自变量、仅由未知函数组成的空间称为相空间. 积分曲线在相空间中的投影称为轨线.对驻定微分方程组
F(x, y, y, , y(n)） 0

y(
x0
)

k0
,
y(
x0
)

k1,
, y(n1) (x0 ) kn1
积分曲线和方向场
一阶微分方程 dy f (x, y)
dx
的解 y (x) 代表 xy 平面上的
(x0 , y0 )
一条曲线，称为积分曲线。
通解 y (x,c) 对应 xy 平面上的
t
n阶线性微分方程的一般形式为：
.
dnx dxn

a1 ( x)
d n1 y dxn1

an (x) y f (x),
其中 a1(x), an (x), f (x)是已知函数。
不是线性方程的方程称为非线性微分方程.例如
d2 dt
x
2

tx

dx dt
3


x

0
微分方程的解
而满足g(x, y) 0 的曲线称为水平等倾斜线.
在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线。
微分方程 dy f (x, y) 的等斜线方程为 dx
f (x, y) k
其
中 k 是参数。给出参数 k 的一系列充分接近的值，就可得
足够密集的等斜线族，借此可以近似地作出积分曲线。
微分方程组
用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方 程组。

x

0
(4)
d4x dt 4

5
d2x dt 2

3x

sin
t
二阶微分方程； 四阶微分方程.
一般的n阶常微分方程可以写成：
dy d n y
F

x,
y,
dx
,
,
dxn


0,
这里
F

x,
y,
dy dx
,
dny
,
dxn

是
x, y, dy , dx
dny
, dxn 的已知函数,
z(n) g(t ; z, z,...z(n1) )