常微分方程学习活动3第一章 初等积分法的综合练习本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。

一、填空题1．微分方程0)(43='-'+''y y y x y xy 是 二 阶微分方程．2．初值问题00d (,)d ()yf x y x y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩的解所满足的积分方程是 00(,)d x x y y f s y s =+⎰ ．3．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是 一阶线性非齐次微分方程 ．（就方程可积类型而言）4．微分方程0d )2e (d e =++y y x x yy是 全微分方程 ．（就方程可积类型而言） 5．微分方程03)(22=+'+''x y y y 是 恰当导数方程 ．（就方程可积类型而言）6．微分方程y x x ysin d d 2=的所有常数解是 …±±==210k ，，π，k y ． 7．微分方程21d d y xy-=的常数解是 1±=y ．8．微分方程xx y y x 122e -=-'的通解为 ）（﹣C x x1+=e y ．9．微分方程2)(21y y x y '+'=的通解是 221C Cx y += ．. 10．一阶微分方程的一个特解的图像是 二 维空间上的一条曲线．二、计算题1．指出下列方程的阶数，是否是线性方程： （1）22d d x y xy+= 答：一阶，非线性（2）0d d d d 2d d 223344=+-xyx y x y 答：四阶，线性 （3）t x x x x =++&&&&&& 答：三阶，非线性2．用分离变量法求解下列方程： （1）yx y -='e解 通积分为C x y +=e e （2）0d cot d tan =-y x x y解 当tan cot 0y x ⋅≠时，分离变量，两端取积分得ln ||tan cot dy dxc y x =+⎰⎰即ln(sin )ln(cos )ln ||y x c =-+ 通积分为 sin cos .y x C ⋅= 另外，,2y k x k πππ==+是常数解，0,1,2,.k =±±L注: 在方程求解时，求出显式通解或隐式通解（通积分）即可，常数解可以不求。

（3）⎩⎨⎧-==+-+1)1(0)d ()d (2222y y yx x x xy y解 当0,0x y ≠≠时, 方程可变为 y y y x x x d 1d 122+=+， 通积分为 11ln ||ln ||x y C x y -=-++ 或 11x y xCe y-=,上式代入初值条件1,1x y ==-.得2C e -=-. 于是初值问题解为 112x yx e ey--=-3．解下列齐次线性微分方程 （1）0d d )2(22=+-y x x xy y 解 显然0=x 是方程的解.当0≠x 时, 原方程可化为 222d d x xy y x y +-=. 令xy u =, 则原方程可化为u u xu x u 2d d 2+-=+, 即 x u u x u +-=2d d 易于看出, 0=u 1=u 是上面方程的解, 从而x y = 0=y 是原方程的解. 当02≠-u u 时, 分离变量得, x xuu u d d 2=+-. 两端积分得ln ln 1u Cx u =-(C 0≠) 将u 换成xy, 便得到原方程的解 ()Cy x x y =-, (C 0≠). 故原方程的通解为()Cy x x y =-（C 为任意常数）及 0=y .（2）y x x y y x tan=-'解 显然0=y 是方程的解. 当0≠y 时, 原方程可化为x y x y x y +=tan d d . 令xyu =, 则原方程可化为 u u x u x u +=+tan d d , 即 .tan d d xu x u =易于看出, 0=u 是上式的解, 从而0=y 是原方程的解.当0≠u 时, 分离变量得, xxu u d tan d =. 两端积分得 1ln sin ln u C x =(C 01≠). 将u 换成x y, 便得到原方程的解 sin y Cx x = (C 0≠). 故原方程的通解为 sin y Cx x =.4．解下列一阶线性微分方程： （1）422x y y x =-' 解 先解齐次方程 y xyx2d d =. 其通解为 2y Cx =. 用常数变易法, 令非齐次方程通解为 2()y C x x =. 代入原方程, 化简后可得.2)(x x C ='. 积分得到 2()C x x C =+.代回后即得原方程通解为 24y Cx x =+.（2）x x y y sec tan =+'解 先解齐次方程x y xytan d d -=. 其通解为 cos y C x =. 用常数变易法, 令非齐次方程通解为 ()cos y C x x =. 代入原方程, 化简后可得 '21()cos C x x=.积分得到 ()tan C x x C =+.代回后即得原方程通解为 sin cos y x C x =+.5．解下列伯努利方程 （1）024=++'xy xy y解 显然0=y 是方程解. 当0≠y 时, 两端同除4y , 得02d d 134=++x yxx y y . 令31y z =, 代入有 ,02d 3d =++-x xz x z 它的解为23e 21z x C +-= 于是原方程的解为233e 211x C y+-=，及.0=y （2）)sin (cos d d 2x x y y x y-=+解 显然0=y 是方程解. 当0≠y 时, 两端同除2y , 得0)sin (cos 1d d 12=--+x x yx y y . 令y z 1=, 代入有 0)sin (cos d d =-+-x x z xz 它的解为 x C z xsin e -=，于是原方程的解x C yx sin e 1-=， 及 .0=y6．解下列全微分方程：（1）0d )e 2(d e =+--y x y x yy解 因为xNy M y ∂∂=-=∂∂-e , 所以这方程是全微分方程, (,)M x y 及 (,)N x y 在整个xOy 平面都连续可微, 不妨选取00,x =00y =. 故方程的通积分为C y y x yxy=-⎰⎰d 2de ,即 C y x y=--2e .（2）0d 2cos d )2sin 1(2=--y x y x x y 解 因为2sin 2M Ny x y x∂∂==∂∂, 所以这方程是全微分方程, (,)M x y 及 (,)N x y 在整个xOy 平面都连续可微, 不妨选取00,x =00y =. 故方程的通积分为C y y x y yx=-+⎰⎰2d d )(1,即 22cos 2x y x C -=.7．求下列方程的积分因子和积分： （1）0d d )(22=-++y xy x x y x解 因为1M Ny x N x∂∂-∂∂=, 与y 无关, 故原方程存在只含x 的积分因子. 由公式（1. 58）得积分因子⎰=xx x d 1e)(μ，即(),x x μ=于是方程0d d )(22=-++y xy x x y x 为全微分方程.取 000,0x y = =. 于是方程的通积分为0d )(022=++⎰xx x y x x . 即 4322346x x x y C ++=.（2）0d d )(344=-+y xy x y x 解 因为5M Ny xN x∂∂-∂∂=-, 与y 无关, 故原方程存在只含x 的积分因子. 解方程由公式（1. 58）得积分因子⎰=-xx x d 5e)(μ，即51(),x xμ=于是方程 0d d )(143445=-+y xy x y x x 为全微分方程. 取 01,x = 00y =. 于是通积分为1031445d d )(1C y y x y x xy x=-+⎰⎰. 即4444ln ||y x x Cx =+. 8．求解下列一阶隐式微分方程 （1）x y y y y 22sin )2(='-'解 将方程改写为 2222(1cos )y y y y x ''-+=-即22222cos y yy y y x ''-+=或222(')cos y y y x -=解'cos y y y x =±得通积分为：ln sin Cy x x =±, 又0y =是常数解.（2）)1e (222-='-'xy y y y解 0y = 显然是方程的解. 当0y ≠时, 方程可变为1e )(2)(2-='-'x y y y y , 令y u y'=, 则上面的式子可变为1e 22-=-x u u . 解出u 得, x u e 1±=. 即x yy e 1±='. 对上式两端积分得到方程的通解为 C x y x +±=e 2ln9．求解下列方程（1）1)()(22+'''=''-'''y y y x解 令 p y ='', 则p y '='''. 代入原式得1)(22+'=-'p p p x . 解出p 得 12+'±'=p p x p .这是克莱洛方程，通解为1p xC =±即1y xC ''=解之得31236C y x C x C =±+ （123,,C C C 为任意常数）.（2）01)(2=+'-''y y y解 化简得 ()10yy ''+=， 即 1yy x C '=-+求积分得 22211()222C y x C =--++. 2212()y x C C +-=或.三、证明题1．设函数)(x p ，)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim >=+∞→a x p x ，b x f ≤)( （a , b 为常数）．求证：方程 )()(x f y x p y =+' 的一切解在),0[∞+上有界． 证明 设y =y (x )是方程任一解，且满足y (x 0)=y 0, 则⎰⎰⋅⎰+⎰=--xx dtt p dss p dss p ds es f eey x y sx xx xx 0000)()()(0)()(由于0)(lim >=∞→a x p x ，所以对任意ε＞0,存在1x ＞x 0,使得x ＞1x 时 有εε+<<-<a x p a )(0令εε+=-=a a a a 21,，则⎰⎰+⎰≤-xx dt a dsa ds e s f ey x y sxxx 1211)()(0于是得到120)(20)1()(12M ab y e a by x y x x a =+≤-+≤-- 又在[x 0，x 1]上y (x )有界设为M 2，现取 ),m ax (21M M M =， 则 [)+∞∈≤,,)(0x x M x y2．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ．证明 设)(x y y =是方程任一解，满足00)(y x y =，该解的表达式为00ed e )(e)()(0x x x x x s x x s s f y x y ---⎰+=取极限00e d e )(lime lim)(lim )(0x x x x x s x x x x x s s f y x y --+∞→-+∞→+∞→⎰+==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞==∞<+⎰⎰∞---+∞→∞-000000d e )(,0e e )(lim d e )(,00)()()(x x s x x x x x x x s s s f x f s s f 若若四、应用题1．按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体温度和空气温度之差成正比, 已知空气温度为c ο30, 而物体在15分钟内由100c o 冷却到 70c o , 求物体冷却到40c o 所需的时间. 2．重为100kg 的物体，在与水平面成30︒的斜面上由静止状态下滑，如果不计磨擦，试求： （1）物体运动的微分方程；（2）求5 s 后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度．1． 解 设物体在时刻t 的温度为()T T t =，由题意()T t 满足初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=100)0()30(d d T T k t T其中k 为常数．解得 ktt T -+=e30)(设物体冷却到40℃所需时间为1t ，于是由(15)70T =得40e703070e 703015=+=+--ktk解得 1t ≈52分钟.2．解 取初始下滑点为原点，Ox 轴正向垂直向下，设 t 时刻速度为 ()v v t =, 距离为()x x t =, 由题意()v t 满足初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(30sin d d 0v g tv 解得 ()2gv t t = 再由(0)0,dx x v dt ==解得 2()4g x t t = 于是得到5秒后， 62.5x m ≈，25/v m s ≈ , 25/dva m s dt=≈．。