拉格朗日 (1736 – 1813)
法国数学家. 他在方程论, 解析函数论, 及数论方面都作出了重要的贡献, 近百 余年来, 数学中的许多成就都直接或间 接地溯源于他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.
例3 R－L－C电路问题。
如图所示，R－L－C电路是由电阻R、电感 L、电容C和电源E串联组成的电路。其中， R、L、C常数，电源电动势是时间t的已知 函数：E=e(t)。试建立当开关K合上后电流 I(t)应满足的微分方程。
例4 单摆运动问题 单摆是一根长为l的线段的上端固定而
下端系一质量为m的摆锤的简单机械装置。 开始时将单摆拉开一个小角度φ0，然后放 开，使其在摆锤的重力作用下在垂直平面 上摆动。试建立单摆的运动方程。
2u x2
2u y2
2u z2
0
1 ）如果微分方程中未知数只依赖于一个自变量，
称为常微分方程。例如：
xky0,
xx2 sint,
2 ）如果微分方程中未知数依赖于两个或更多的自 变量，称为偏微分方程。例如：
v v v, t s
2u x2
2u y2
2u z2
0
注：我们不特别声明，就称常微分方程为微分方程或方程。
若存在 (x,c1,,cn) 的一个邻域，使得
,
, ,
c1
c2
cn
, c1
, c2
,
cn 0
(n1) ,
(n1) ,
,
(n1)
c1
c2
cn
则称 y(x,c1,,cn) 含有n个相互独立的常数。
例：yc1cox sc2sixn是 yy0的通解。 因为 y c1sixn c2co x而s
§ 1.1 微分方程的概念
一、 导出微分方程的一些实例
1、单种群增长模型（Logistic 方程）
x rx(1 x ) K
2、数学单摆模型
g sin.
L
二、 微分方程的基本概念
凡含有自变量、未知函数以及未知函数的导数（或 微分）的方程称为微分方程。例如：
xky0,
xx2 sint,
v v v, t s
把
d d
2
t
x
2
及
x
的表达式代入方程，得
k 2 ( c 1 c o s k t c 2 s i n k t k 2 ( c 1 c o s k t c 2 s i n k t ) 0
因此，函数是微分方程的解。
内容小结
1. 微分方程的基本概念 常微分方程，偏微分方程，微分方程的阶
微分方程的解，通解，特解 线性微分方程， 非线性微分方程 初始条件
性微分方程。
例如： xx2sitn是二阶非线性微分方程。
解和隐式解：设 y (x) 是定义在区间（a,b）上的n阶可微函
数，将其代入方程 F(x,y.dy,L,dny）＝0后，能使它变成恒等式，
dx dxn
则称函数 y (x) 为方程的解。
若关系式 (x，y)＝0决定的隐函数 y＝（x）是
上述方程解称 (x，n)＝0为方程的隐式解。
课程评分方法 (Grading Policies)
Lecture Grade (100) = Daily Grade (20) + Final Exam (80)
二、如何学习常微分方程 ?
1. 课前预习, 培养浓厚的学习兴趣.
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
马克思
在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程 完全不同的问题。比如：某个物体在重力作用下 自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律； 火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求ห้องสมุดไป่ตู้飞行 的轨道等，研究这些问题所建立的数学方程不仅 与未知函数有关，而且与未知函数的导数有关， 这就是我们要研究的微分方程。
解这类问题的基本思想和初等数学解方程的 基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函 数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含 未知函数及其导数的一个或几个方程中去求得未 知函数的表达式－－－即求解微分方程。
五、微分方程的教材特点
第一章 绪 论 本章主要内容
1.1 常微分方程的有关模型 1.2 常微分方程的有关概念 1.3 微分方程的发展历史
本章主要介绍微分方程、微分方程的解以 及微分方程的阶、解，微分方程组，动力系统 等有关概念，同时介绍一些有关的微分方程模 型。同学们应着重掌握微分方程的一些基本概 念: 解、通解、特解、阶数、初值条件等，了解 微分方程的有关模型。
常微分方程 Ordinary Differential Equation
教材 (Text Book) <<常微分方程 >> （第三版）
王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松编 高等教育出版社
参考书目 (Reference)
➢《常微分方程》 东北师范大学数学系编 高等教育出版社
➢《常微分方程》（山东师范大学数学系）庄 万 黄启宇等编，山东科学技术出版社
作业
P27 2， 3，4， 6，8 （1）（3）（5）
牛顿(1642 – 1727)
伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文 学家和自然科学家. 他在数学上的卓越 贡献是创立了微积分. 1665年他提出正 流数 (微分) 术 , 次年又提出反流数(积分)术,并于1671 年完成《流数术与无穷级数》一书 (1736年出版). 他 还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等 .
牛顿研究天体力学和 机械力学的时候，利用 了微分方程这个工具， 从理论上得到了行星运 动规律。后来，法国天 文学家勒维烈和英国天 文学家亚当斯使用微分 方程各自计算出那时尚 未发现的海王星的位置。 这些都使数学家更加深 信微分方程在认识自然、 改造自然方面的巨大力 量。
三、微分方程的研究方法
研究微分方程的一般五种方法
4、微分方程的数值解法 5、微分方程的定性和稳定性理论
1900年，希尔波特提出的23个问题中的第16 个问题之一，至今未解决。
四、微分方程的讲授内容（学时64）
1、基本概念 2 、一阶微分方程的初等解法 3、微分方程解的存在性理论 4、高阶线性方程 5、线性微分方程组 6、微分方程的定性稳定性理论初步
( 雅各布第一 ·伯努利 )
瑞士数学家, 他家祖孙三代出过十多 位数学家. 1694年他首次给出了直角坐 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 年提出了著名的伯努利方程, 1713年出 版了他的巨著《猜度术》, 这是组合数学与概率论史 上的一件大事, 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 此外, 他对 双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .
方程的阶数：一个微分方程中，未知函数最高阶导 数的阶数，称为方程的阶数。
一般的n阶微分方程的形式为：
F(x,y.ddyx,L,ddxnny）＝0
其中：F(x,y.ddyx,L,ddxnny）＝0是变量
x,
y,
,
dny dxn
的已知函数。
如果一个微分方程关于未知函数及其各阶导数都是
线性的，则称它为线性微分方程，否则称之为非线
莱布尼兹(1646 – 1716)
德国数学家, 哲学家. 他和牛顿同为 微积分的创始人 , 他在《学艺》杂志 上发表的几篇有关微积分学的论文中, 有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿 . 他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计 数法 , 并把它与中国的八卦联系起来 .
伯努利(1654 – 1705)
例：y ekx 是 yky0在 (,) 上的解。
ytanx()是
x' 1x2
在
( , )
22
上的解。
例：xdxydy0有隐式解 x2 y2 C（任意常数）
n 阶方程的通解：把含有 n 个相互独立的任意常数
c1，c2，L ，c n 的解 y＝ （ x1 ， c1 ， L， cn）
称为n 阶方程的通解。
一、常微分方程模型
例 1 试求作一曲线y=f(x)，使在其上每一点(x, y)处的切线斜率均是该点横坐标的2倍，且 过点(1, 2)。
例 2 物体冷却问题
将某物体置于空气中，在t＝0时刻时， 测得它的温度为u0=150oC。10分钟后测得 它的温度为u1=100oC ，试确定该物体温度 u与时间t的关系，并计算20分钟后该物体的 温度。这里假定空气的温度始终保持为 ua=24oC 。
y (x 0 ) y 0 ,dd (x 0 y )x y 0 ',.d .( d .n y 1 n ,) (1 x x 0 ) y 0 (n 1 ) 其中 x0,y0,y0(1),L,y0(n1)是给定的 n 个1 常数。
求微分方程满足定解条件的解就是所谓的定解问题。
当定解条件为初始条件时，相应的定解问题也就为 初值问题。
2. 认真听课，养成正确的学习习惯.
华罗庚
聪明在于学习 , 天才在于积累 .
学而优则用 , 学而优则创 . 由薄到厚 , 由厚到薄 .
3. 课后复习，锻造扎实的学习基础.
常微分方程的基本情况介绍
常微分方程是数学分析或基础数 学的一个组成部分，现代数学的一个 重要分支，是人们解决各种实际问题 的重要工具，它在生命科学、几何、 力学、物理、电子技术、航空航天和 经济领域等都有着广泛的应用。
欧拉 (1707 – 1783)
瑞士数学家. 他写了大量数学经典 著作, 如《无穷小分析引论 》, 《微 分学原理 》, 《积分学原理》等, 还 写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 为分析学的重 要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和 发展奠定了基础. 在数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数, 公式和定理.