（三）抽象总结：
由上面的分析，我们发现：当△＜0 时，实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)在复数集内有虚根，并且它的虚根共扼成对 出现． 当△＜0 时，实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有一对共扼
z
_ b 4ac b 2 i b 4ac b 2 i z 2a 2a ，
(z b 2 4ac b 2 ) . 2a 4a 2
（6）
利用复数相等的定义容易看出，满足（6）式的复数 z 只有两个． 因此，当△＜0 时，实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 有且只有一
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对共扼虚根，它们由（4）式给出． 三、例题精讲
2 例 1：解方程 x x 2 0.
z b 4ac b 2 i 2a
_
虚根
（3）
是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的一个根． 猜想的结论是靠不住的，需要证明． 我们把（3）式代入方程来验证：
a[ z 2 b b b z ( )2 ( )2 ] c a 2a 2a
az2+bz+c=
a( z
பைடு நூலகம்
= =
b 2 4ac b 2 ) 2a 4a
10’
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z
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_ b 4ac b 2 i b 4ac b 2 i z 2a 2a ，
3.实系数一元二次方程的根与系数的关系在判别式时仍然成立，
_ b zz , a 即： _ c zz . a
六、布置作业： P295 A 组 1、2
z
_
1 3i . 2
_ _
z z 1; z z 1.
四、课堂练习 P295 A 组 1、 （1） （2） （3） （4）
20’
五、本课小结： 1、当判别式△＜0 时，实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 在复数集内有虚根，并且它的虚根共扼成对出现． 2、当判别式△＜0 时，实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 有且只有一对共扼虚根
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名
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无
《教材》
教
一、情境设计
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在初中时，我们学习过一元二次方程的解法． 大家来做下面几道题： 1. 在实数集内解下列方程： （1） x 2 -x-2=0 （3） x 2 -x-1=0 （2） x 2 -2x+1=0 (4) x 2 +x+2=0
az bz c 0,
即：
_
___ 2
___
_
a z b z c 0.
__ 2
_
(2)
因此， z 也是 a x 2 +bx+c=0 的一个根．问题 1 得到解决． 那么（问题 2） z与 z 是什么形式呢？ 我们知道，当△≥0 时，一元二次方程 a x 2 +bx+c=0 的两个实数根 分别式△≥0 时的求根公式受到启发，我们猜想：当△＜0 时，
10′
2.一元二次方程 a x 2 +bx+c=0(a≠0,△≥0)的根为 ________________________. 3. 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况为： 当_________时，有两个不等的实根． 当_________时，有两个相等的实根． 当_________时，没有实根．
二、新课讲授
30’
（一）提出问题： 做完上面的题，大家想一想： 1．当△＜0 时，实系数一元二次方程 a x 2 +bx+c=0(a≠0)在复数 集内有没有根？ 2．如果有，它的复数根应当有怎样的形式？ 同学们小组讨论
（二）分析问题：
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试着做做：我们假设有复数根，设 z 是它的一个根．则 a z 2 +bz+c=0 在（1）式的两边同时取共扼复数，得： (1)
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20’
2 解： 1 4 1 2 7 0.
所以原方程的两个根是：
z 1 7i _ 1 7i ,z . 2 2
2 例 2：已知方程 x x 1 0 的一个根是
z
1 3i , 2
写出这个方程的另一个根，并且求这两根之和与两根之积． 解：原方程的另一个根是
虚根
此时，经过验算得出：
_ b zz , a _ c zz . a
结论：实系数一元二次方程的根与系数的关系在判别式△＜0 时 仍然成立。 （四）拓展探究： 那么当△＜0 时，实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 还有其它根 吗？从验证（3）式的过程看出：如果虚数 z 是方程的一个根，则
a(
b 4ac b 2 i 2 4ac b 2 ) 2a 4a
(4ac b 2 )i 2 4ac b 2 4a 2 4a = a
=0.
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_
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因此由（3）式给出的虚数 z 的确是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的 一个根．从而， z 也是该方程的一个根．
理论课教案首页
章节标题 课题内容 教 学 目 的 和 要 求 CHAP 12 复数 授课班级 12 机电 1、2 12.3 △＜0 的实系数一元二次方程的根
1．掌握△＜0 的实系数一元二次方程的两个共扼虚根；掌握根与系数的关 系． 2．培养学生探索的精神． 3．学习猜想，对比，联系的学习方法．
重 点 重点：△＜0的实系数一元二次方程的两个共扼虚根． 难 难点：对两个根的猜想． 点 授 课 发现问题——猜想——证明 方 法 挂 图 模 型 、 教 具 备课参考资料 课 后 小 结
七、板书设计
课题 一、知识点 （一） （三） 例题： 1． 2．
（二）
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