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实系数一元二次方程的根


即原方程有两个根: x1 = 1 + 2i x 2 = 1 − 2i (2)因为∆=b2-4ac=1-24=-23<0,所以方程有一对共轭复根: 1 1 (1 ± −23) = (1 ± 23i) x1,2=
2 2
即原方程有两个根: 1 23 1 23 x1 = + i x1 = − i 2 2 2 2
22
( (、 、 )、 、 )
2+3i,求: (1)另外一个根;

b c x1 ⋅ x 2 = x1 + x 2 = − a a (2)如果a=2,求出b,c.
六.小结
共轭复数的概念与求解 判断实系数一元二次方程的根类型 在复数集内解实系数一元二次方程
七.作业
课本117第 课本117第3题,119页第2题 ,119页第2
解 (1)因为x2=-16,所以x= ± 4i; (2)因为x2=-2/7,所以x=
±
14 7
例5: 判定下列方程根的类型. (1)2x (1)2x2-5x+8=0; (2) x2-7x+4=0; +8=0; +4=0; (3)x2-8x+16=0; (4)2(x+1)2=-(x-3)2. (3)x +16=0; (4)2(x =(-5)28=-39<0,所以原方程有一对共轭复根; 解 (1)∆=(-5)2-4×2×8=-39<0,所以原方程有一对共轭复根; (2)∆=(-7)2-4×1×4=33>0,所以原方程有两个相异实根; =(-7)24=33>0,所以原方程有两个相异实根; (3)∆=(-8)2-4×1×16=0,所以原方程有两个相等实根; =(-8)216=0,所以原方程有两个相等实根; (4)整理原方程,得2(x2+2x+1)=-(x2-6x+9), 即 (4)整理原方程,得2(x +2x+1)=3x2-2x+11=0; +11=0; ∆=(-2)2-4×3×11=-128<0, =(-2)211=所以原方程有一对共轭复根.
课堂练习1 课堂练习1
1:求下列复数的共轭复数. (1)1-3i;(2)4i+3;(3)-4i;(4)0;(5) -7+i.
2:已知z的共轭复数 z,求z: (1)0.5; (2) 9i; (3) -4+0.5i; (4)4-0.5i
例3:
已知2 x + (2 y − 1)i = 3 + 2i, 其中x、y ∈ R,求x与y。
例6:在复数集中讨论下列方程的根. (1) x2-2x+3=0; +3=0; (2) x2-x+6=0; +6=0; (3) 2x2+2x+3=0; (4) x2-3x+6=0. 2x +2x+3=0; +6=0.
解(1)因为∆=b2-4ac=4-12=-8<0,所以方程有一对共轭复根:
1 1 (2 ± −8) = (2 ± 2 2i ) x1,2= 2 2
−b± ∆ 2a
∆ = 0有两相等实根
∆<0
−b 2a
− b ± | ∆ |i 2a
有两虚根
四.实系数一元二次方程的根
方程 (1) (2) (3)
∆>0
ax + bx + c = 0 (
2
a ≠ 0、a b c ∈) 、 R
有两实根
−b± ∆ 2a
∆ = 0有两相等实根
∆<0
−b 2a
有两共轭虚根
.
z = a + bi ⇔ z = a − bi
例1:求下列复数的共轭复数. z1=2+3i;z2=-3-5i;z3=-6i+4;z4=2.5i;z5=9. 解: z1=2-3i;z2=-3+5i;z3=6i+4;z4=-2.5i;z5=9. 例2:已知z的共轭复数 z,求z: z1=1-i;z2=-1+i;z3=2i 解: 因为z=z 所以z1=1+i;z2=-1-i;z3=-2i.
方程2x=5在整数集Z 方程2x=5在整数集Z中无解
扩充后的有理数集Q 扩充后的有理数集Q中则有解
方程2x 2在有理数集Q 方程2x = 2在有理数集Q中无解
在实数集R 在实数集R中则有解
方程 (1) (2) (3)
∆>0
ax + bx + c = 0 (
2
a ≠ 0、a b c ∈) 、 R
有两实根
课堂练习2 课堂练习2
1.判断下列方程根的类型 x2+2x+6=0 x2-5x+4=0 2.在复数内求下列方程的根 x2+2x+7=0 x2-3x+5=0
五.两根和与积(推广) 两根和与积(推广)
已知方程
ax + bx = 0 a 0 ∈ a bc ∈ R ax +bx + c+ c =≠0a bac ≠ 0R 其中一个根为复数
∆ −b ± i 2a 2a
因为x2=-1,所以在复数集内负数是可以开方的, − b ± ∆ i2 − b ± i ∆ −b± ∆ = = 开方的结果是一个纯虚数,因此实系数一元二次 2a 2a 2a 方程在复数集内总存在根
例4: 在复数集内求下 列方程的根. (1)x2+16=0 (1)x (2)x2+2/7=0. (2)x2+2/7=0.
解: 根据共轭复数的性质,得
2x=3, 2y-1=-2.
解之得x=1.5,y=-0.5
练一练
已知x + (4 y + 1)i = −4 − 3i, 其中x、y ∈ R,求x与y。
三.方程求解
方程x+5=3在自然数集N 方程x+5=3在自然数集N中无解 扩充后的整数集Z 扩充后的整数集Z中有解
谢 谢
热烈欢迎各位 专家和领导 莅临指导
实系数一元二次方程的根
泗阳中等专业学校 周其兵
一.知识目标
掌握共轭复数的概念并能求解复数的共轭 复数 会判断实系数一元二次方程的根类型 能在复数集内解实系数一元二次方程
二.共轭复数
共轭复数:实部相同, 共轭复数:实部相同,虚部相反的两个复数叫做共轭 复数
记作
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