中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）1考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)1. 若函数1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈和1)('<≤L x ϕ, 则方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解存在唯一，对 任意[]b a x ,0∈为初值由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于方程()x x ϕ=在[,]a b 上的解*x ，且有误差估计式*x x k-≤L -1ε； 2. 建立最优化问题数学模型的三要素是： 确定决策变量 、 建立适当的约束条件 、 建立目标函数 ；3．求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象”，其原因是： 最速下降法前后两个搜索方向总是垂直的 ； 4．已知函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，[,]i x a b ∈，设函数)(x S 是()f x 的三次样条插值函数，则)(x S 满足的三个条件（1）在每个子区间[]i i x x ,1-（i=1，2，…，n ）上是不高于三次的多项式；（2）S （x ），S ’（x ），S ’’（x ）在[]b a ,上连续；（3）满足插值条件S （x i ）=y i （i=1，2，…，n ）； 5．随机变量1210~(3,4),(,,,)X N X X X 为样本，X 是样本均值，则~X N （3，0.4）；6．正交表()p q N L n m ⨯中各字母代表的含义为 L 表示正交表，N 表示试验次数，n 、m 表示因子水平数，p 、q 表示试验至多可以安排因素的个数 ；7．线性方程组Ax b =其系数矩阵满足 A=LU ，且分解唯一 时，可对A 进行LU 解，选主元素的Gauss 消元法是为了避免 采用绝对值很小的主元素 导致误差传播大，按列选取主元素时第k 步消元的主元a kk 为)1,2,......,1(1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+=n i a y a b y iin i j i ij i i 8．取步长0.01h =，用Euler法解'3,[0,1](0)1y x yx y ⎧=-∈⎨=⎩的公式为 。

二、（本题6分）某汽车厂三种汽车：微型轿车、中级轿车和高级轿车。

每种轿车需要的资源和销售的利润如下表。

为达到经济规模，每种汽车的月产量必须达到一定数量时才可进行生产。

工厂规定的经济规模为微型车1500辆，中级车1200辆，高级车1000辆，请建立使该厂的利润最大的生产计划数学模型。

()1002,1,009.003.01 =+=+n y x yn nn解：设微型车生产了x 1辆，中级车生产了x 2辆，高级车生产了x 3辆，而钢材、人工均有限制，所以应满足限制条件：钢材：1.5x 1+2x 2+2.5x 3≤6000 人工：30x 1+40x 2+50x 3≤55000生产数量：x 1≥1500 x 2≥1200 x 3≥1000 从而问题的数学模型为： Max c 1x 1+c 2x 2+c 3⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥≤++≤++1000120015005500050403060005.225.1321321321x x x x x x x x x 三、（本题10分）已知)(x f 的数据如表：用Newton 插值法求)(x f 的三次插值多项式，计算(6)f 的近似值，给出误差估计式。

解：因此32335.155.97.105.0)(x x x x N +-+=，而5.12)6()6(3==N f[]504.27)56()26()16(62292.0)()6(432103-=-⨯-⨯-⨯⨯-==x x x x x x f R ω四、（本题12分）为了研究小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有没有差异，现试验了在接种三种不同菌型伤寒杆菌（记为123,,A A A 并假设2~(,)i i A N μσ，1,2,3i =，）)(3x N(1) 试把上述方差分析表补充完整（请在答卷上画表填上你的答案）(2) 小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有无显著差异？（取0.05α=，0.05(2,12) 3.89F =）解：（1）见表中红色部分（2）设H 0：μ1=μ2=μ3=…=μi 选取统计量)1()1(--=N SSE I SSAF ，由于显著性水平未给出，设α=0.05，查表得89.3)12,2(05.0=F ，因为F=6.286>)12,2(05.0F ，所以拒绝H 0，即小白鼠在接种不同型伤寒杆菌后存活日数有显著差异。

五、（本题12分）用表格形式单纯形法求解1231231213132max 2086832250250..43150,0,Z s t x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪+≤⎪⎪⎨+≤⎪⎪≥⎪⎩ 六、（本题10分）试确定求积公式 1012 1()(1)(0)(1)f x dx A f A f A f -≈-++⎰中的待定系数，使其代数精度尽量高。

解：将2,,1)(x x x f =分别代入式中得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+-=++=20202103202AA A A A A A ，因此得35,31120===A A A七、（本题12分）（1）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。

常用的方法有向前回归法、向后回归法、逐步回归法。

试解释什么是逐步回归法？（2）如果要考察因素A 、B 、C 及交互作用A ×B 、A ×C 、B ×C ，如何用正交表78(2)L 安排试验，交互作用见下表，试作表头设计。

表 78(2)L 两列间交互作用表解：(1)逐步回归法就是对全部因子按其对y 影响程度大小（偏回归平方的大小），从大到小地依次逐个地引入回归方程，并随时对回归方程当时所含的全部变量进行检验，看其是否仍然显著，如不显著就将其剔除，知道回归方程中所含的所有变量对y 的作用都显著是，才考虑引入新的变量。

再在剩下的未选因子中，选出对y 作用最大者，检验其显著性，显著着，引入方程，不显著，则不引入。

直到最后再没有显著因子可以引入，也没有不显著的变量需要剔除为止。

（2）如果因子A 放在第1列，因子B 放第2列，则A ×B 放在第3列。

如C 放在第4列，再查交互作用表，A ×C 和B ×C 应分别放在第5列和第6列。

表头设计如下：八、（本题14分）设方程组为1230259510430102014x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1）对方程组进行适当调整，使得用Gauss-Seidel 迭代法求解时收敛； （2）取(0)0x =，用Gauss-Seidel 迭代法计算两步迭代值(1)x ，(2)x ； （3）取(0)0x=，估计用Jacobi 迭代求解(100)x 与准确解*x 的误差。

解：（1）将原矩阵变换为如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛9301452041050210321x x x ，经变换后的矩阵为严格对角占优阵，因此在用Gauss-Seidel 迭代法求解时收敛。

（2）由G —S 迭代公式得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=-=+++++)29(51)4530(101)214(101)1(2)1(3)(3)1(1)1(2)(2)1(1k k k k k k k x x x x x x x ，又由于(0)0x =，因此经两步迭代后得()88.03.24.1)1(=x ，()9288.0178.294.0)2(=x （3）由Jacobi 迭代公式得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=-=+++)29(51)4530(101)214(101)(2)1(3)(3)(1)1(2)(2)1(1k k k k k k k x x x x x x x 因此⎪⎭⎫⎝⎛----=)29(51)4530(101)214(101)99(2)99(3)99(1)99(2)100(x x x x x中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷2考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 若方程0)(=x f 可表成)(x xϕ=，且在[,]a b 内有唯一根*x ，那么)(x ϕ满足，则由迭代公式)(1n n x x ϕ=+产生的序列{}n x 一定收敛于*x 。

（)(x ϕ满足：1()[,]x C a b ϕ∈,且[,]x a b ∀∈有()[,]x a b ϕ∈, '()1x L ϕ≤<；）2. 已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)T f x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的最速下降方向为 （最速下降方向为：()4,2Tp =-）；3．已知二元非线性函数221122120()24,(2,2)T f x x x x x x x X =-++-=，该函数从X 0 出发的Newton 方向为 （Newton 方向为： ()2,0Tp =-）；4．已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，则其三次样条插值函数)(x S 是满足（（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式，（2）在区间[,]a b 上二阶导数连续，（3）满足插值条件(),0,1,2,,i i S x y i n == ）；5．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值12(,,,)n X X X 落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为________（0.15） ；6．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 大 愈好，而置信区间的长度愈 短 愈好。

但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 变长 ；7．取步长2.0=h ，解]1,0[,1)0(2'∈⎩⎨⎧=-=x y yx y 的Euler 法公式为：（1(2)0.60.2,0,1,2,,5n n n n n n y y h x y y x n +=+-=+= ）； 8．对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有： （模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。

） 。

二、（本题8分）某钢铁公司生产一种合金，要求的成分是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍介于35%到55%之间，不允许有其他成分。

钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如下表。