高等数学（上）第二章练习题一. 填空题1． 设()f x 在0x x =处可导，且00x >，则0lim x x →=2． 设()f x 在x 处可导，则220()(2)lim 2h f x h f x h h →+--=______________3． 设0()10x ax x f x ex <⎧=⎨-≥⎩在0x =处可导，则常数a =______4． 已知sin ()x f x x '=，则df dx =5． 曲线ln x xy x +=上横坐标为1x =的点的切线方程是6． 设sin x y x x = ，则y '=7． 设2x y e -=，则00.1x x dy =∆==8． 若()f x 为可导的偶函数，且0()5f x '=，则0()f x '-=二. 单项选择题9． 函数()f x 在0x x =处可微是()f x 在0x x =处连续的【 】A ．必要非充分条件B ． 充分非必要条件C ．充分必要条件D ． 无关条件10. 设2()()lim ()x a f x f a l x a →-=-，其中l 为有限值，则在()f x 在x a =处【 】A ．可导且()0f a '=B ．可导且()0f a '≠C ．不一定可导D ．一定不可导11．若2()max(2,)f x x x =，(0,4)x ∈，且()f a '不存在，(0,4)a ∈，则必有【】 A ．1a = B.2a = C ．3a = D ． 12a =12．函数()f x x =在0x =处【 】A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导且导数为零D ．可导但导数不为零13．设2221()31x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()f x 在1x =处【 】A ．左、右导数都存在B ． 左导数存在但右导数不存在C ．右导数存在但左导数不存在D ． 左、右导数都不存在14．设32()3||f x x x x =+，使()(0)n f 存在的最高阶数n 为【 】A ．0 B. 1 C ．2 D ． 315．设()f u 可导，而()()x f x y f e e =，则y '=【 】A ．()[()()()]f x x x x e f x f e e f e ''+B ． ()[()()()]f x x x e f x f e f e ''+ C ．()()()()f x x f x x e f e e f e ''+ D ． ()()()()x f x x f x x e e f e e f e ''+16．函数23()(2)||f x x x x x =+--不可导点的个数是【 】A ．3 B. 2 C ．1 D ． 017．设()f x 可导，()()(1|sin |)F x f x x =+，要使()F x 在0x =处可导，则必有【 】A ．(0)0f =B ．(0)0f '=C ．(0)(0)0f f '+=D ．(0)(0)0f f '-=18．已知直线y x =与log a y x =相切，则a =【 】A ．eB ． 1e -C ．1e e -D ．ee19．已知()(1)(2)(100)f x x x x x =---，且()2(98)!f a '=⨯，则a =【 】A ．0B ．1C ．2D ．3 20．已知01()3f x '=，则当0x ∆→时，在0x x =处dy 是【 】 A ．比x ∆高阶的无穷小 B ．比x ∆低阶的无穷小C ．与x ∆等价的无穷小D ．与x ∆同阶但非等价的无穷小21．质点作曲线运动，其位置与时间t 的关系为22x t t =+-，2321y t t =--，则当1t =时，质点的速度大小等于【 】 A ．3 B ．4 C ．7 D ．5三. 解答下列各题22．设()()()f x x a x ϕ=-，()x ϕ在x a =连续，求()f a '23．2sin(12)x y e -= ，求dy 24．2arcsin 2x y =，求y '' 25．若()f u 二阶可导，3()y f x =，求22d y dx26．设111x y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求(1)y ' 27．若2ln(1)arctan x t y t t⎧=+⎨=-⎩ ，求dy dx 与22d y dx 28．2(1)x y x e -=-，求(24)y 29．arctan y x =，求()(0)n y30．已知23220()011x x x f x ax bx cx d x x x x ⎧+≤⎪=+++<<⎨⎪-≥⎩_在(,)-∞+∞内连续且可导，求a ，b ，c ，d 的值31．求曲线23xy e x y --=上纵坐标为0y =的点处的切线方程32．求曲线(1)010y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩ 上对应0t =处的法线方程 33．过原点O 向抛物线21y x =+作切线，求切线方程34．顶角为60底圆半径为a 的圆锥形漏斗盛满了水，下接底圆半径为b （b a <）的圆柱形水桶，当漏斗水面下降的速度与水桶中水面上升的速度相等时，漏斗中水面的高度是多少？35．已知()f x 是周期为5的连续函数，它在0x =的某个邻域内满足关系式(1sin )3(1sin )8()f x f x x x α+--=+，其中，()x α是当0x →时比x 高阶的无穷小，且()f x 在1x =处可导，求曲线()y f x =在点(6,(6))f 处的切线方程习题答案及提示一． 1．0()x ' 2. 3()()f x f x ' 3. 1 45. y x = 6．[(1ln )sin cos ]x x x x x ++ 7. 0.2- 8. 5- 二. 9. B 10. A 11. B 12. C 13. B 14. C 15. A16. B 17. A 18. C 19. C 20. D 21. D三. 22. 提示：用导数定义 ()()f a a ϕ'= 23. 2sin (12)2sin(24)x dy e x dx -=--24. y ''= 25. 234326()9()d y x f x x f x dx '=+ 26. (1)12ln 2y '=- 27. 2dy t dx = ，2121()4d y t t dx -=+ 28. (24)2[48551]x ye x x -=-+ 29． 由21()1y x x '=+ 222(1)x y x ''=-+ 由2(1)()1x y x '+= 两边求n 阶导数，_利用莱布尼兹公式，代入0x =，得递推公式，(1)(1)(0)(1)(0)n n y n n y +-=-+__利用(0)1y '=和(0)0y ''= ()(1)(2)!21(0)022k n k n k y n k ⎧-=+=⎨=+⎩0,1,2,k= 30. 提示：讨论分段点0x =与1x =处连续性与可导性2a =， 3b =-， 1c = ， 0d =31. 10x y ++= 32. 10ex y ++= 33.2y x =±35. 提示：关系式两边取0x →的极限，得(1)0f =00(1sin )3(1sin )8()sin lim lim 8sin sin x x f x f x x x x x xx x α→→+--⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦ 而 000(1sin )3(1sin )(1)3(1)limlim sin (1)(1)(1)(1)lim 34(1)x t t f x f x f t f t x t f t f f t f f t t →→→+--+--=+---⎡⎤'=+=⎢⎥-⎣⎦得(1)2f '=，由周期性(6)(1)0f f ==6()(6)(6)lim 6x f x f f x →-'=- 令5x t -= 由周期性得 1()(1)lim 21t f t f t →-==- 切线方程2(6)y x =- 水下裸露岩石钻孔灌注桩钢护筒埋设施工工艺摘要：在河床或海床基岩裸露的地质条件下，在水中钻孔灌注桩的钢护筒安放施工不像在有淤泥覆盖层情况下施工那么简单容易。

本文针对浙江物产港洲石化有限公司成品油码头工程3000吨级码头工程为例，简单的总结了裸岩面钢护筒埋设的一些方法，希望对其他类似的工程有一定的参考价值关键词：裸露岩床；钻孔灌注桩、埋设钢护筒、施工工艺1.工程概况浙江物产港洲石化有限公司成品油码头工程3000吨级码头工程位于温岭市石塘镇箬山水仙岙村棺材屿的前缘，根据现场实际施工情况发现拟建码头水下地质条件大部分为裸露岩床。

根据地勘报告显示，岩石层自上而下分为两层：○1强风化凝灰岩，厚度一般在0.90~4.30m，○2中风化凝灰岩。

本工程码头主要由1座106m长×12m宽的码头平台（高桩梁板式结构）、1 座19.8m 长×9m宽的栈桥和码头上油品运输配套设施组成，嵌岩桩共有73根，其中：，每个排架有4根Φ1000嵌岩桩；引桥共3个排架，每个排架有3根Φ800嵌岩桩。

Φ1000桩嵌岩深度为桩端进入中风化岩不小于5m，Φ800桩嵌岩深度为桩端进入中风化岩不小于2.5m。

2.施工工艺本工程采用搭设钢平台作为水上施工场地，利用冲击钻进行钻孔施工作业。

因码头下横梁宽为1.5m，引桥横梁宽为1.3m,考虑到桩偏位影响，所以钢护筒直径选用1100mm和900mm，壁厚8mm，采用卷板机卷制，并在现场拼接一定长度。

埋设时，利用汽车吊安放护筒。

对于海底无覆盖层的岩石地质，钢护筒的定位、固定和防渗是本工程灌注桩施工的一个技术难点，是施工中成孔速度、单桩混凝土用量和成桩质量的关键因素。

处理好钢护筒的埋设问题，便可以通过泥浆循环方式对钻孔进行清渣处理，不但比捞渣法清渣效率快、方便，又可以保证二次清孔后的沉渣厚度和混凝土浇筑后的成桩质量。

通过现场反复摸索和试验，项目部工程技术人员经过比选和研究，确定将岩面分为3类，分别对应不同的方法进行施工。

2.1 岩面较平整时用汽车吊将岸上已拼接一定长度的钢护筒直接就位安放，冲击钻就位后。