习题2—1（A ）1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：（1）函数的导数是函数的平均变化率在自变量的增量趋于零时的极限；（2）求分段函数(),,()(),x x a f x x x aϕφ<⎧=⎨≥⎩在分界点x a =处的导数时，一般利用左、右导数的定义分别求该点处的左、右导数．如果二者存在且相等，则在这一点处的导数就存在，且等于左、右导数，否则函数在这点不可导；（3） )(x f y =在0x 点可导的充分必要条件是)(x f y =在0x 点的左、右导数都存在； （4）函数)(x f y =在0x 点连续是它在0x 点可导的充分必要条件. 答：（1）正确．根据导数的定义．（2）正确．一般情况下是这样，但是若已知)(x f '连续时，也可以用)()(00--'='x f x f （即导函数的左极限），)()(00++'='x f x f （即导函数的右极限）求左右导数．（3）不正确．应是左、右导数都存在且相等．（4）不正确．)(x f 在0x 点连续仅是)(x f 在0x 可导的必要条件，而不是充分条件，如x y x y ==、3都在0=x 点连续，但是它们在0=x 点都不可导．2．设函数2x x y +=，用导数定义求它在1-=x 点处的导数.解：1lim 1lim)1(121-==+-+=-'-→-→x x x x y x x ．3．设函数y 10=x 点处的导数． 解：2111lim 11lim)1(11=+=--='→→x x x y x x ． 4．用定义求函数x y ln =在任意一点x (0>x )处的导数．解：xx x x x x x y x x x x x x 1e ln ])1ln[(lim ln )ln(lim1100==∆+=∆-∆+='∆→∆→∆． 5． 对函数x x x f 2)(2-=，分别求出满足下列条件的点0x ： （1）0)(0='x f ； （2）2)(0-='x f ．解：22)22(lim )2()](2)[(lim)(0220-=+-=--+-+='→→x h x hx x h x h x x f h h ， （1）由0)(0='x f ，有0220=-x ，得10=x ； （2）由2)(0-='x f ，有2220-=-x ，得00=x ． 6．已知某物体的运动规律为221gt s =，求时刻t 时物体的运动速度)(t v ，及加速度)(t a ． 解：速度为gt hgt h gt h t g t s t v h h =+=-+='=→→)2(lim 2/2/)(lim)()(0220， 加速度为g g hgth t g t v t a h h ==-+='=→→00lim )(lim)()(． 7．求曲线x y ln =在点)01(，处的切线方程与法线方程． 解：切线斜率11)1(1=='==x xy k ，切线方程为：)1(10-⋅=-x y ，即01=--y x ； 法线方程为：)1(110--=-x y ，即01=-+y x ． 8．若函数)(x f 可导，求下列极限：（1）x x f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000； （2）x x f x )(lim 0→（其中0)0(=f ）；（3）h h x f h x f h )()(lim000--+→； （4）x x f f x )sin 1()1(lim 0--→．解：（1）=∆--∆--=∆-∆-→∆→∆xx f x x f x x f x x f x x )()(lim )()(lim 000000)(0x f '-．（2）=--=→→0)0()(lim )(lim00x f x f x x f x x )0(f '． （3）hh x f h x f h )()(lim000--+→='+'=---+-+=→→)()()()(lim )()(lim00000000x f x f h x f h x f h x f h x f h h )(20x f '． （4）=⨯'=⋅---=--→→1)1(sin sin )1()sin 1(lim )sin 1()1(lim00f xx x f x f x x f f x x )1(f '． 9．讨论下列函数在指定点的连续性和可导性：（1）3x y =，在0=x 点；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=，，，，0001arctan )(2x x xx x f 在0=x 点； （3）2,1,(),1,x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 在1=x 点．解：（1）3x y =是初等函数，且在0=x 的邻域内有定义，因此3x y =在0=x 点连续，因为+∞==--→→32031lim 00limxx x x x （极限不存在），所以3x y =在0=x 点不可导． （2）因为21arctan lim 00)/1arctan(lim2020π==--→→xx x x x x ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧=≠=，，，，0001arctan )(2x x xx x f 在0=x 点可导，且2)0(π='f ，从而也连续． （3）因为1)1(1lim )1(1lim )1(211=====+-→+→-f x f x f x x ，，，有)1()(lim 1f x f x =→， 所以，2,1,(),1,x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 在1=x 点连续，又2)1(lim 11lim )1(111lim )1(1211=+=--='=--='---→→+→-x x x f x x f x x x ，，由)1()1(+-'≠'f f ， 所以，2,1,(),1,x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 在1=x 点不可导．10．设函数⎩⎨⎧≥<=，，，，1e 1e )(x x x x f x 求(1)f '．解：因为e 1ee lim )1(e 11e lim e 1e e lim )1(1111=--='=--=--='---→+-→→-x x f x x f x x x x x ，，所以=')1(f e ． 11．设函数⎩⎨⎧≥+<=，，，，0120cos )(x x x x x f 求()f x '．解：当0<x 时，x x x f sin )(cos )(-='='，当0>x 时，22lim )12(1)(2lim)12()(00==+-++='+='→→h h hx h x x x f ，当0=x 时，由20112lim )0(001cos lim )0(00_=--+='=--='+→+→-x x f x x f x x ，， 于是函数在0=x 点不可导，所以⎩⎨⎧><-='.020sin )(x x x x f ，，，习题2—1（B ）1．有一非均匀细杆AB 长为20 cm ，M 为AB 上一点，又知AM 的质量与从A 点到点M 的距离平方成正比，当AM 为2 cm 时质量为8 g ，求： (1) AM 为2 cm 时，这段杆的平均线密度； （2）全杆的平均线密度； （3）求点M 处的密度．解：设x AM = cm ，则AM 杆的质量为2)(kx x m = g ，由2=AM 时,8=m ，得2=k ，所以，22)(x x m =，x h x hx h x x m h h 4)24(lim 2)(2lim)(0220=+=-+='→→ g/cm ． （1）AM 为2 cm 时，这段杆的平均线密度为==282)2(m 4 g/cm ． （2）全杆的平均线密度为==2080020)20(m 40 g/cm ． （3）点M 处的密度为=')(x m x 4 g/cm ．2．求b a ，的值，使函数⎩⎨⎧≥+<=00e )(x b ax x x f x ，，， 在0=x 点可导． 解：首先函数)(x f 要在0=x 点连续．而1e lim )0(0==-→-x x f ，b b ax f x =+=+→+)(lim )0(0，b f =)0(， 由)0()0()0(f f f ==+-，得1=b ，此时1)0(=f ．又11e lim )0(0=-='-→-xf x x ，a x ax f x =-+='+→+11lim )0(0，由)0()0(+-'='f f 得1=a ． 所以，当11==b a ，时，函数⎩⎨⎧≥+<=00e )(x b ax x x f x ，，， 在0=x 点可导． 3．讨论函数x y tan =在0=x 点的可导性．解：1tan lim 0tan lim )0(00-=-=-='--→→-x x x x f x x ，1tan lim 0tan lim )0(00==-='++→→+xxx x f x x 因为)0()0(+-'≠'f f ，所以函数x y tan =在0=x 点不可导． 4．若函数)(x f 可导，且)(x f 为偶（奇）函数，证明()f x '为奇（偶）函数． 证明：（1）若)(x f 是偶函数，有)()(x f x f =-， 因为)()()(lim )()(lim)(00x f hx f h x f h x f h x f x f h h '-=----=--+-=-'→→，所以)(x f '是奇函数．（2）若)(x f 是奇函数，有)()(x f x f -=-， 因为)()()(lim )()(lim)(00x f hx f h x f h x f h x f x f h h '=---=--+-=-'→→， 所以)(x f '是偶函数．5．设非零函数)(x f 在区间)(∞+-∞，内有定义，在0=x 点可导，)0()0(≠='a a f ，且对任何实数y x ，，恒有)()()(y f x f y x f =+.证明)()(x af x f ='．证明：由)()()(y f x f y x f =+，令0==y x ，有)0()0(2f f =，而0)(≠x f ，得1)0(=f ．因为hx f h f x f h x f h x f h h )()()(lim )()(lim00-=-+→→)()0()()0()(lim )(1)(lim)(00x af f x f hf h f x f h h f x f h h ='=-=-=→→， 所以函数)(x f 可导，且)()(x af x f ='．6．求曲线xx y 1+=上的水平切线方程． 解：hx x h x h x h x y h x y x y h h )/1()]/(1[lim )()(lim )(00+-+++=-+='→→211])(11[lim xh x x h -=+-+=→，由0)(='x y ，得±=x ，当1=x 时，2=y ，此时水平切线是)1(02-=-x y ，即2=y ； 当1-=x 时，2-=y ，此时水平切线是)1(02-=+x y ，即2-=y ．7．在抛物线21x y -=上求与直线0=-y x 平行的切线方程． 解：对21x y -=，导函数为：x h x hx h x h x y h x y x y h h h 2)2(lim )1(])(1[lim )()(lim )(02200-=+-=--+-=-+='→→→，设切点为)1(2t t -，，则切线斜率为t t y k 2)(-='=，而直线斜率为11=k ， 根据已知，有1k k =，即12=-t ，得2/1-=t ，切点为)4/32/1(，-， 切线方程为：)21(143+⋅=-x y ，即0544=+-y x ． 8．已知曲线2ax y =与曲线x y ln =相切，求公切线方程．解：设切点为),(00y x ，则两曲线在切点处的斜率分别为012ax k =，02/1x k =.由两曲线在0x x =时相切，有⎩⎨⎧==./12ln 00,020x ax x ax 得21ln 0=x ，即e 0=x ，此时，e 21=a ，210=y ，公切线斜率为e1=k ， 公切线方程为)e (e 121-=-x y ，化简得021e1=+-x y . 习题2—2（A ）1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：（1）在自变量的增量比较小时，函数的微分可以近似刻画函数的增量，但是二者是不会相等的；（2）函数)(x f y =在一点x 处的微分x x f x f ∆'=)()(d 仅与函数在这点处的导数有关； （3）函数在一点可微与在这点可导是等价的，在一点可微的函数在这点必然连续，但反过来不成立，即在一点连续的函数在这点未必可微．答：（1）前者正确，根据微分的定义y x o y y d )(d ≈∆+=∆；后者不正确，如对线性函数b ax y +=，恒有)(d x a y y ∆==∆．（2）不正确．因为x x f x f x x ∆'==)()(d 00，可见0)(d x x x f =不仅与)(0x f '有关，还与自变量x 在该点的增量x ∆有关．（3）正确．这就是本章定理2.1与定理1.2所述． 2．求下列函数在x 点处的微分y d ：（1）x y ln =； （2）3x y =（0≠x ）； （3）xy 1=（0≠x ）； （4）22x x y +=．解：（1）因为x y 1='，所以xxy d d =． （2）因为3222332033031)()(1lim lim )(xx h x x h x h x h x x y h h ⋅=++++=-+='→→，所以，323d d xx y ⋅=．（3）因为x x h x x x xhx h h x x h x h x x y h h h 211lim 1lim /1/1lim)(0200-=++-=++-=-+='→→→，所以，xx x y 2d d -=．（4）因为)1(2)22(lim )2(])()(2[lim)(0220x h x hx x h x h x x y h h +=++=+-+++='→→， 所以x x y d )1(2d +=．3．求下列函数在0x x =点处的微分0d x x y =：（1） x y cos =，20π=x ； （2）xx y 1+=，10=x ． 解：（1）因为x y sin -='，所以x x x yx x d d sin d 2/2/-=⋅-===ππ．（2）因为211xy -='，所以0d 0d ]11[d 121=⋅=⋅-===x x xy x x ． 4．设函数y 10=x ，1.0=∆x 时函数的微分y d ．解：因为x x h x h x h x y h h 211lim lim00=++=-+='→→， 所以05.02d 1.011.01=∆==∆==∆=x x x x xx y．5．用函数的局部线性化计算下列数值的近似值：（1）0330sin '； （2）05.1； （3）002.1ln ．解：（1）取6/30360/610330sin )(0ππ==='== x x x x f ，，，x x f cos )(='， 由)())(()(000x f x x x f x f +-'≈，得 5076.05000.00076.0217203213606c o s 0330sin =+≈+=+⋅≈'πππ．（2）取105.1)(0===x x x x f ，，，x x f 2/1)(='，由)())(()(000x f x x x f x f +-'≈，得025.1105.02105.1=+⨯≈． （3）取)1ln()(x x f +=，当1<<x 时，先证明x x ≈+)1ln(， 事实上，取00=x ，则0)0()(0==f x f 10)1ln(lim)0()(00=--+='='→x x f x f x ，由)())(()(000x f x x x f x f +-'≈，得x x x =+-⋅≈+0)0(1)1ln(， 利用x x ≈+)1ln(，得002.0)002.01ln(002.1ln ≈+=． 6．讨论下列函数在0=x 点的可微性：（1）32)(x x f =； （2）x x x f =)(； （3）⎩⎨⎧≥<=.0sin 0)(3x x x x x f ，，，解：（1）因为∞==--→→303201lim 00lim xx x x x ，则32)(x x f =在0=x 点不可导，所以32)(x x f =在0=x 不可微． （2）因为0lim 00lim==--→→x x x x x x ，则x x x f =)(在0=x 点可导，所以x x x f =)(在0=x 点可微．（3）因为10sin lim )0(000lim )0(030=--='=--='+-→+→-x x f x x f x x ，，)0()0(+-'≠'f f ， 得⎩⎨⎧≥<=0sin 0)(3x x x x x f ，，，在0=x 点不可导，所以在0=x 点也不可微．习题2—2（B ）1．已知单摆的振动周期glT π2=，其中980=g cm/s 2是重力加速度，l 是摆长（单位：cm ）．设原摆长为20 cm ，为使周期T 增加0.05 s ，问摆长大约需要增加多少？ 解：02244.020201lim 220/202/2limd d 202020≈=+=--=→→=gl g l g g l lT l l l ππππ由l T T ∆'≈∆)20(，得23.202244.005.0)20(≈≈'∆≈∆T T l ，即为使周期T 增加0.05 s ，摆长大约需要加长2.23 cm ．2．用卡尺测量圆钢的直径D ，如果测得03.60=D mm ，且产生的误差可能为0.05 mm ，求根据这样的结果所计算出来的圆钢截面积可能产生的误差的大小． 解：设圆钢的截面积为4/)(2D D A A π==，2)2(l i m 44/]4/)([l i m )(0220Dh D h D h D D A h h ππππ=+=-+='→→；2/)(D D D D A A ∆⋅=∆'≈∆π，当05.003.60≤∆=D D ，时，715.42/04.003.601416.3≈⨯⨯≤∆A mm 2， 所以绝对误差大约为4.715 mm 2；0017.003.6005.0224/2/2≈⨯≤∆⋅=∆⋅≈∆D D D D D A A ππ，所以相对误差大约为0.17%． 3．若函数)(x f 在0=x 点连续，且1)(lim=→xx f x ，求0d =x y ．解：由1)(lim=→xx f x ，及分母极限0lim 0=→x x ，得分子极限0)(lim 0=→x f x ；又因为函数)(x f 在0=x 点连续，所以=)0(f 0)(lim 0=→x f x ，1)(lim 0)0()(lim)0(00==--='→→xx f x f x f f x x ，x x f y x d d )0(d 0='==．4．设函数()f x 在点0x 可微，且2)(0='x f ，求极限yyx d lim 0∆→∆．解：由已知，有x y ∆=2d ，所以101]2)(1[lim d )(d lim d lim000=+=∆∆+=∆+=∆→∆→∆→∆x x o y x o y y y x x x ．习题2—3（A ）1．下列叙述是否正确？并根据你的回答说出理由：（1）求复合函数的导数时要根据复合函数的关系，由“外”到“里”分别对各层函数求导，再把它们相乘；（2）求任意函数的微分首先要求出该函数的导数，然后将该导数乘以自变量的微分． 答：（1）正确．这就是复合函数求导定理推广到多重复合的情形，通常称为复合函数的“链式求导法则”，又形象地俗称为“扒皮法”，要注意不能漏项．（2）不一定．还可以用微分法则及一阶微分形式不变性求函数的微分． 2．求下列函数的导数：（1）3232++=xx y ； （2）)1(2x x x y +=； （3）32(1)x y x -=； （4）ln y x x =；（5）x x x y xsin tan 2-+=； （6）cos 1cos xy x=+． 解：（1）)3()1(2)(32'+'+'='xx y xx x xx x 12012-=+-=．（2）252123232323)()(---='+'='x x x x y )11(233xx -=．（3）132)33(2312-+-='-+-='--xx x x xy ． （4）1ln /ln )(ln ln +=+='+'='x x x x x x x x y ． （5）2sin )(sin )(tan )2(x x x x x x y x'-'-'+'=22sin cos sec 2ln 2xx x x x x --+=． （6）22)cos 1(sin )cos 1()cos 1(cos )cos 1()(cos x xx x x x x y +-=+'+-+'='． 3．求下列函数在指定点的导数或微分：（1）x x x f cos sin )(-=，求()3f π'与()2f π'；（2）3523x x y +-=，求0d =x y 与2d =x y．解：（1）x x x f sin cos )(+='，。