信02数值分析期末试卷 2005.6.20
班级：__________ 姓名：_________ 分数：___________
一、填空题(每空2分，共10分)
1、计算正方形面积要使相对误差限为2%, 则边长L 时相对误差限为____．
2、设求积公式⎰∑≈=b
a
n
i i i x f x x f 0
)(d )(ω是插值型的，其中n 为正整数，
b x x x a n ≤<<<≤ 10，则其代数精度至少为____，至多为_____．
3、如果某方法的误差)
(k X
满足关系式)1()
(5.002-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=k k X a X
，其中
,2,1=k ，并且该方法是收敛的，那么a 的范围是______．
4、四阶Runge-Kutta 方法解常微分方程初值问题的局部截断误差是____．
二、(10分) 证明方程0sin 1=--x x 在]1,0[上有根，写出牛顿迭代公式，
并取初始值为10=)(x 求近似根?)(=2x （保留六位小数）
三、(20分) 求x
x f +=
11)(在]1,0[上的一次最佳一致逼近多项式和一次最佳
平方逼近多项式.
四、(12分) 考虑利用Gauss-Seidle 迭代法分别求解线性方程组
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡24210
1
014120321x x x 和⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡22410
1
120014
321x x x ， （1）说明两者的收敛性；（2）并对收敛的迭代法写出计算格式，再由
初始向量T X )0,0,0()0(=，计算=)(4X ？
五、(13分) 已知)(x f y =的观察数据表如下：
)(3x P )1(3-P
六、(10分) 建立高斯求积公式 )()()(11001
12x f A x f A dx x f x +≈⎰-．
七、(10分) 设矩阵⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=3212A ，1）利用乘幂法求其最大特征值和相应的特
征向量（初值⎥⎦⎤
⎢⎣⎡==1
1)0()0(v u ，迭代四次）；2）求出相应的准确解．
八、(15分) 对于常微分方程初值问题
⎩⎨
⎧=≤≤-='
.1)0(,
4.00 ,y x y x y 1、用欧拉预测—校正方法，求出各节点上的数值解，取步长h=0.2； 2、求出准确解，及其在4.0=x 处的数值解的相对误差．。