数值分析期末试题一、填空题（20102=⨯分）（1)设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=283012251A ，则=∞A ______13_______。

（2)对于方程组⎩⎨⎧=-=-34101522121x x x x ，Jacobi 迭代法的迭代矩阵是=J B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡05.25.20。

（3)3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的31倍。

（4）求方程)(x f x =根的牛顿迭代公式是)('1)(1n n n n n x f x f x x x +--=+。

（5）设1)(3-+=x x x f ，则差商=]3,2,1,0[f 1 。

（6）设n n ⨯矩阵G 的特征值是n λλλ,,,21 ，则矩阵G 的谱半径=)(G ρi ni λ≤≤1max 。

（7）已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021A ，则条件数=∞)(A Cond 9（8）为了提高数值计算精度，当正数x 充分大时,应将)1ln(2--x x 改写为)1ln(2++-x x 。

（9）n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为1-n 次。

（10）拟合三点))(,(11x f x ，))(,(22x f x ，))(,(33x f x 的水平直线是)(3131∑==i i x f y 。

二、（10分）证明：方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=+-12112321321321x x x x x x x x x 使用Jacobi 迭代法求解不收敛性。

证明：Jacobi 迭代法的迭代矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=05.05.01015.05.00J BJ B 的特征多项式为)25.1(5.05.0115.05.0)det(2+=---=-λλλλλλj B IJ B 的特征值为01=λ，i 25.12=λ，i 25.13-=λ，故25.1)(=J B ρ＞1，因而迭代法不收敛性。

三、（10分）定义内积⎰=1)()(),(dx x g x f g f试在{}x Span H ,11=中寻求对于x x f =)(的最佳平方逼近元素)(x p 。

解：1)(0≡x ϕ，x x ≡)(1ϕ，1),(100==⎰dx ϕϕ，21),(101==⎰xdx ϕϕ，31),(1211==⎰dx x ϕϕ，32),(10==⎰dx x f ϕ，52),(11==⎰dx x x f ϕ。

法方程⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡5232312121110c c 解得1540=c ，15121=c 。

所求的最佳平方逼近元素为 x x p 1512154)(+=，10≤≤x 四、（试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。

解:332210)(x c x c x c c x y +++=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=84211111000111118421A ， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=130034003401034010001005A A TT T y A )4.14,7,2.4,9.2(=法方程y A Ac A T T =的解为4086.00=c ，39167.01=c ，0857.02=c ，00833.03=c 得到三次多项式3200833.00857.039167.04086.0)(x x x x y +++=误差平方和为000194.03=σ五. (10分) 依据如下函数值表建立不超过三次的Lagrange 插值多项式，用它计算)2.2(f ，并在假设1)()4(≤x f 下，估计计算误差。

解:先计算插值基函数1478781)40)(20)(10()4)(2)(1()(230+-+-=------=x x x x x x x lx x x x x x x l 38231)41)(21)(01()4)(2)(0()(231+-=------=x x x x x x x l -+-=------=2324541)42)(12)(02()4)(1)(0()(x x x x x x x l 12181241)24)(14)(04()2)(1)(0()(233+-=------=所求Lagrange 插值多项式为121445411)(3)(23)(9)()()()(233210303+-+-=+++==∑=x x x x l x l x l x l x l x f x L i i i 从而0683.25)2.2()2.2(3=≈L f 。

据误差公式))()()((!4)()(3210)4(3x x x x x x x x f x R ----=ξ及假设1)()4(≤x f 得误差估计：0396.09504.0!41)42.2)(22.2)(12.2)(02.2(!4)()()4(3=⨯≤----=ξf x R 六. (10分) 用矩阵的直接三角分解法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x解 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡443433242322434241323121020111113010342110100201u u u u u ul l l l l l由矩阵乘法可求出ij u 和ij l⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡10101211011111434241323121l l l l l l ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡21210102010201443433242322u u u u u u解下三角方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡7173510101211014321y y y y 有51=y ，32=y ，63=y ，44=y 。

再解上三角方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡463521************x x x x 得原方程组的解为11=x ，12=x ，23=x ，24=x 。

七. (10分) 试用Simpson 公式计算积分dx e x⎰211的近似值, 并估计截断误差。

解：0263.2)4(612215.11211=++-≈⎰e e e dx e xx e xx x x f15678)4()2436121(+++=43.198)1()(max )4()4(21==≤≤f x f x截断误差为06890.0)(max 2880)12()4(2152=-≤≤≤x f R x八. (10分) 用Newton 法求方程2ln =-x x 在区间) ,2(∞内的根, 要求8110--<-kk k x x x 。

解：此方程在区间) ,2(∞内只有一个根s ，而且在区间（2，4）内。

设2ln )(--=x x x f则 x x f 11)('-=， 21)(''xx f = Newton 法迭代公式为1)ln 1(112ln 1-+=----=+k k k kk k k k x x x x x x x x ， ,2,1,0=k 取30=x ，得146193221.34=≈x s 。

九. (10分) 给定数表求次数不高于5的多项式)(5x H ，使其满足条件⎩⎨⎧====2 ,0),()(3,2 ,1 ,0 ),()('55i x f x H i x f x H i i i i 其中,1i x i +-= 3 ,2 ,1 ,0=i 。

解：先建立满足条件)()(3i x f x p =， 3,2,1,0=i的三次插值多项式)(3x p 。

采用Newton 插值多项式[][]))((,,)(,)()(1021001003x x x x x x x f x x x x f x f x p --+-+=+[]))()((,,,2103210x x x x x x x x x x f ---)1()1(61)1()1(410-+-+-++=x x x x x x326161914x x x --+= 再设 )2)(1()1)(()()(35--+++=x x x x b ax x p x H ，由⎩⎨⎧=-++==-+-+-=-1.0)2)(()1()1(1)6)(()1()1('3'5'3'5b a p H b a p H 得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-6017811b a b a 解得36059-=a ，360161=b 。

故所求的插值多项式)2)(1()59161(36016161914)(2325---+--+=x x x x x x x x H。