多边形与平行四边形一.选择题1．（2015·湖北省孝感市，第2题3分）已知一个正多边形的每个外角等于60，则这个正多边形是A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形考点：多边形内角与外角．.分析：多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成60°n，列方程可求解．解答：解：设所求正n边形边数为n，则60°•n=360°，解得n=6．故正多边形的边数是6．故选B．点评：本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．2．(2015•江苏南昌,第5题3分)如图，小贤同学为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是( ).A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形B．BD的长度变大C．四边形ABCD的面积不变D．四边形ABCD的周长不变第5题D AB C答案：解析：选C. ∵向右扭动框架, 矩形变为平行四边形,底长不变，高变小，所以面积变小. ∴选C.3．(2015•江苏无锡,第8题2分)八边形的内角和为（）A．180°B． 360°C． 1080°D． 1440°考点：多边形内角与外角．分析：根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°进行计算即可得解．解答：解：（8﹣2）•180°=6×180°=1080°．故选：C．点评：本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键．4．（2015•广东广州,第8题3分）下列命题中，真命题的个数有（）①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．A．3个B．2个C．1个D．0个考点：命题与定理；平行四边形的判定．分析：分别利用平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形，进而得出即可．解答：解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，符合题意；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，说法错误，例如等腰梯形，也符合一组对边平行，另一组对边相等．故选：B．点评：此题主要考查了命题与定理，正确把握相关定理是解题关键．5. （2015•浙江衢州,第4题3分）如图，在ABCD中，已知平分交于点，则的长等于【】A. B. C. D.【答案】C．【考点】平行线分线段成比例的性质．【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴.∴.又∵平分，∴.∴. ∴.∵，∴.∴.故选C.6. （2015•浙江丽水，第5题3分）一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是【】A. 四边形B. 五边形C. 六边形D. 七边形【答案】C.【考点】多边形的外角性质．【分析】∵多边形的每个内角均为120°，∴外角的度数是：180°﹣120°=60°．∵多边形的外角和是360°，∴这个多边形的边数是：360÷60=6．故选C．7. （2015•浙江宁波，第7题4分）如图，□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为【】A. BE=DFB. BF=DEC. AE=CFD. ∠1=∠2【答案】C.【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定.【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定对各选项进行分析，作出判断：∵四边形是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD.∴∠ABE=∠CDF.若添加BE=DF，则根据SAS可判定△ABE≌△CDF；若添加BF=DE，由等量减等量差相等得BE=DF，则根据SAS可判定△ABE≌△CDF；若添加AE=CF，是AAS不可判定△ABE≌△CDF；若添加∠1=∠2，则根据ASA可判定△ABE≌△CDF.故选C.8. （2015•绵阳第7题，3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（）A． 6 B． 12 C． 20 D． 24考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．.分析：根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．解答：解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE===5．∵BE=DE=3，AE=CE=5，∴四边形ABCD是平行四边形．四边形ABCD的面积为BC•BD=4×（3+3）=24，故选：D．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了勾股定理得出CE的长，又利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，最后利用了平行四边形的面积公式．9. （2015•四川凉山州,第17题4分）在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD：S△COB= ．【答案】或．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．10．(2015·南宁，第9题3分)一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）.（A）60°（B）72°（C）90°（D）108°考点：多边形内角与外角．.分析：首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，即可求得n=5，再再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．解答：解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，解得：n=5，∴这个正多边形的每一个外角等于：=72°．故选B ．点评：此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n ﹣2）•180°，外角和等于360°．11． (2015·河南，第7题3分)如图，在□ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF =6，AB =5，则AE 的长为（ ）A . 4B . 6C . 8D . 10C 【解析】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质，以及基本的尺规作图. 设AE 与BF 交于点O ，∵AF =AB ，∠BAE = ∠F AE ，∴AE ⊥BF ，OB =21BF =3在Rt △AOB 中，AO =22-453 ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ∴∠F AE = ∠BEA ，∴∠BAE =∠BEA ，∴AB =BE ，∴AE =2AO =8.12．(2015·黑龙江绥化，第10题 分)如图□ABCD 的对角线ACBD 交于点O ,平分∠BAD 交E F CD BGA第7图BC 于点E ,且∠ADC =600，AB =21BC ,连接OE ．下列 结论：①∠CAD =300 ② S□ABCD=AB •AC ③ OB =AB ④ OE =41BC 成立的个数有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．．分析：由四边形ABCD 是平行四边形，得到∠ABC =∠ADC =60°，∠BAD =120°，根据AE 平分∠BAD ，得到∠BAE =∠EAD =60°推出△ABE 是等边三角形，由于AB =BC ，得到AE =BC ，得到△ABC 是直角三角形，于是得到∠CAD =30°，故①正确；由于AC ⊥AB ，得到S ▱ABCD =AB •AC ，故②正确，根据AB =BC ，OB =BD ，且BD ＞BC ，得到AB ≠OB ，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE =AB ，于是得到OE =BC ，故④正确．解答：解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC =∠ADC =60°，∠BAD =120°，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠EAD =60°∴△ABE 是等边三角形，∴AE=AB=BE，∵AB=BC，∴AE=BC，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，∵AB=BC，OB=BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误；∵CE=BE，CO=OA，∴OE=AB，∴OE=BC，故④正确．故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．13、（2015•山东临沂,第17题3分）如图，在ABCD中，连接BD，, ,，则ABCD的面积是________.【答案】考点：勾股定理，平行四边形的面积14．（2015•安徽省,第8题，4分）在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ，点E 在边AB 上，∠AED ＝60°，则一定有（ ）A ．∠ADE ＝20°B ．∠ADE ＝30°C ．∠ADE ＝ 1 2∠ADCD ．∠ADE ＝ 13∠ADC考点：多边形内角与外角；三角形内角和定理分析：利用三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，分别表示出∠A ，∠B ，∠C ，根据∠A =∠B =∠C ，得到∠ADE =∠EDC ，因为∠ADC =∠ADE +∠EDC =∠EDC +∠EDC =∠EDC ，所以∠ADC =∠ADC ，即可解答．解答：解：如图，在△AED中，∠AED=60°，∴∠A=180°﹣∠AED﹣∠ADE=120°﹣∠ADE，在四边形DEBC中，∠DEB=180°﹣∠AED=180°﹣60°=120°，∴∠B=∠C=（360°﹣∠DEB﹣∠EDC）÷2=120°﹣∠EDC，∵∠A=∠B=∠C，∴120°﹣∠ADE=120°﹣∠EDC，∴∠ADE=∠EDC，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠EDC=∠EDC，∴∠ADE=∠ADC，故选：D．点评：本题考查了多边形的内角和，解决本题的关键是根据利用三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，分别表示出∠A，∠B，∠C．二.填空题1．（2015•广东梅州,第15题5分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则▱ABCD的周长等于20 ．考点：平行四边形的性质．分析：根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC，AD=BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴AE+DE=AD=BC=6，∴AE+2=6，∴AE=4，∴AB=CD=4，∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20，故答案为：20．点评：本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AE B．2.（2015湖南岳阳第15题4分）一个n边形的内角和是180°，则n=3．考点：多边形内角与外角．.分析：根据多边形内角和定理即可列方程求解．解答：解：根据题意得180（n﹣2）=180，解得：n=3．故答案是：3．点评：本题考查了多边形的内角和定理，题目较简单，只要结合多边形的内角关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．3，（2015湖南邵阳第12题3分）如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形：△ADF≌△BEC．考点：全等三角形的判定；平行四边形的性质．.专题：开放型．分析：由平行四边形的性质，可得到等边或等角，从而判定全等的三角形．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠DAC=∠BCA，∵BE∥DF，∴∠DFC=∠BEA，∴∠AFD=∠BEC，在△ADF与△CEB中，，∴△ADF≌△BEC（AAS），故答案为：△ADF≌△BE C．点评：本题考查了三角形全等的判定，平行四边形的性质，平行线的性质，根据平行四边形的性质对边平行和角相等从而得到三角形全等的条件是解题的关键．4.（2015湖南邵阳第15题3分）某正n边形的一个内角为108°，则n=5．考点：多边形内角与外角．.分析：易得正n边形的一个外角的度数，正n边形有n个外角，外角和为360°，那么，边数n=360°÷一个外角的度数．解答：解：∵正n边形的一个内角为108°，∴正n边形的一个外角为180°﹣108°=72°，∴n=360°÷72°=5．故答案为：5．点评：考查了多边形内角与外角，用到的知识点为：多边形一个顶点处的内角与外角的和为180°；正多边形的边数等于360÷正多边形的一个外角度数．5. （2015•四川省内江市，第24题，6分）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH，FH，EG与FH交于点M，对于下面四个结论：①CH⊥BE；②HO BG；③S正方形ABCD：S正方形=1：；④EM：MG=1：（1+），其中正确结论的序号为②．ECGF考点：四边形综合题．.分析：证明△BCE≌△DCG，即可证得∠BEC=∠DGC，然后根据三角形的内角和定理证得∠EHG=90°，则HG⊥BE，然后证明△BGH≌△EGH，则H是BE的中点，则OH是△BGE 的中位线，根据三角形的中位线定理即可判断②．根据△DHN∽△DGC求得两个三角形的边长的比，则③④即可判断．解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=90°，同理可得CE=CG，∠DCG=90°，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG，∴∠BEC=∠DGC，∵∠EDH=∠CDG，∠DGC+∠CDG=90°，∴∠EDH+∠BEC=90°，∴∠EHD=90°，∴HG⊥BE，则CH⊥BE错误，则故①错误；∵在△BGH和△EGH中，，∴△BGH≌△EGH，∴BH=EH，又∵O是EG的中点，∴HO BG，故②正确；设EC和OH相交于点N．设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，∵OH∥BC，∴△DHN∽△DGC，∴，即，即a2+2ab﹣b2=0，解得：a=或a=（舍去），则，则S正方形ABCD：S正方形ECGF=（）2=，故③错误；∵EF∥OH，∴△EFM∽△OMH，∴=，∴，∴===．故④错误．故正确的是②．故答案是：②．点评：本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键．6.（2015•江苏徐州,第12题3分）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是9．考点：多边形内角与外角．.分析：首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．解答：解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°=40°，360°÷40°=9．故答案为：9．点评：此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．7. （2015•四川成都,第14题4分）如图，在平行四边形ABCD 中，13=AB ，4=AD ，将平行四边形ABCD 沿AE 翻折后，点B 恰好与点C 重合，则折痕AE 的长为__________.【答案】：3【解析】：点B 恰好与点C 重合，且四边形ABCD 是平行四边形，根据翻折的性质， 则AE BC ⊥，2BE CE ==，在Rt ABE ∆中，由勾股定理得221343AE AB BE =-=-=8. （2015•四川眉山，第18题3分）如图，以△ABC 的三边为边分别作等边△ACD 、△ABE 、△BCF ，则下列结论：①△EBF ≌△DFC ；②四边形AEFD 为平行四边形；③当AB =AC ，∠BAC =120°时，四边形AEFD 是正方形．其中正确的结论是 ①② ．（请写出正确结论的番号）．考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定；正方形的判定．. 专题： 计算题．分析： 由三角形ABE 与三角形BCF 都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，∠ABE =∠CBF =60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 得到三角形EBF 与三角形DFC 全等，利用全等三角形对应边相等得到EF =AC ，再由三角形ADC 为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF =AD ，AE =DF ，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD 为平行四边形，若AB =AC ，∠BAC =120°，只能得到AEFD 为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项．解答：解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE，在△ABC和△EBF中，，∴△ABC≌△EBF（SAS），选项①正确；∴EF=AC，又∵△ADC为等边三角形，∴CD=AD=AC，∴EF=AD，同理可得AE=DF，∴四边形AEFD是平行四边形，选项②正确；若AB=AC，∠BAC=120°，则有AE=AD，∠EAD=120°，此时AEFD为菱形，选项③错误，故答案为：①②．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，以及正方形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．9．（2015•广东省,第11题，4分）正五边形的外角和等于▲ （度）.【答案】360.【考点】多边形外角性质.【分析】根据“n边形的外角和都等于360度”的性质，正五边形的外角和等于360度.10．（2015•北京市,第12题，3分）右图是由射线AB，BC，CD，DE，组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=_____．【考点】多边形【难度】容易【答案】360°【点评】本题考查多边形的基本概念。