势 能 零 点
E p a
F dl
一定位置的势能等于从该位置 到势能零点保守力所作的功。
2、几个典型力场的势能
a、重力势能：
M 0 处为零势能点
z M(x, y,z)
E p
M
0
m
g
dr
M
m
mg•
d
r
M
0
(
mg
k
)
(dxi
dyj
dzk
)
M
O
y
x
M0( x0 , y0 ,0)
证明：
F dr
F dr
F dr
L
ACB
BDA
F dr
F dr
ADB
BDA
C
F d r F d r 0
ACB
ADB
保守力的环流等于零。
F dr 0
L
B D
A
3、非保守力：力所做的功与路径有关，或力沿闭合路径的 功不为零。这种力为非保守力。
如摩擦力、冲力、火箭的推动力等。
dA P dr ( mgk ) ( dxi dyj dzk ) mdz
在由P1到P2的过程中重力做功为:
A
P2 dA
P1
z2
z1
mgdz
mg(z2
z1
)
重力的功只与始、末位置有关，与具体路径无关。 质点下降时重力做正功，质点上升时重力做负功。
3、 万有引力的功
m 在M 的引力场沿其椭圆轨道由r a移到r b ，引力对m 作的功.
r
dr
F
r d r
dr
rb
b
x
M0 ( x0 , y0 ,0)
A mgz
11 A G0 Mm( rb ra )
特点：作功只与初、末位置有关，而与质点的具体路径无关．
1、保守力：作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关 的力。例：重力、万有引力、弹性力、静电力等
2、保守力沿任何一闭合路径所作的功为零。
1 ra
)
பைடு நூலகம்
讨论 ①万有引力的功A的大小仅与始末状态有关,而与路径无关。
②轨道为圆形时，A=0.
4 摩擦力的功 质量为m的质点，在固定的粗糙水平
v
•
L1
面上由初始位置P1沿某一路径L1运动到 末位置P2，路径长度为s，如图所示。
f
P1
由于摩擦力的方向总是与速度的
L2
P2
方向相反。所以元功
dA F dl Fdl mgdl
y2
R 0
o
x
F0 R2
3.1.2、几种常见力的功 1、 弹簧弹力的功
弹簧作用在质点上的弹力为：a ) F k xi
d A F • d xi kxdx b)
物体由 x 1 移动到 x 2 处时 弹性力所作的功为：
A x2 kx d x x1
c)
1 2
kx12
1 2
kx22
k
O kF
x v
例 已知质点在力 F F0 ( xi yj ) 的作用下从（0，0）逆时针
运动到（R，R）。 求力所作的功。
y
解： A F • d r
F0( xi yj )• (d xi d yj )
R
(R, R)
R
R
0 F0 x d x 0 F0 y d y
1 2
F0
x2
R 0
1 2
F0
zb za
Fzdz
•b
F
r dr
O
2、多个力作用时的功（对质点）
A F dr (F1 F2 ... Fn ) dr
F1 dr F2 dr ... Fn dr
A1 A2 An
合力对质点所做的功，等于每个分力所作的功的代数和。
说明 （1）功是标量（可正、可负、可为零） （2）功与路径有关，是过程的函数（过程量） （3）功是力对空间的积累 （4）功的单位为焦耳（J）
第3章 功和能
第3章 功和能
本章主要内容： 1、理解功的概念以及保守力的功的特点 2、理解势能的概念，了解势能与保守力的关系 3、掌握质点及质点系的动能定理 4、 掌握机械能守恒及能量守恒定律
3.1 功 保守力
力对空间的积累
？
状态量？的变化
3.1.1、功（work）
1、外力对质点的功 元功： dA F
3.1.4、功率(power) 表示作功快慢的物理量
定义：功随时间的变化率.
平均功率： P A t
SI单位: 焦耳/秒 (瓦特)
瞬时功率： P lim A dA t0 t dt
P
dA dt
F dr
dt
F
v
Fv cos
P Fv
3.2 势 能
3.2.1、 势能(potential energy)
Mm
F G0 r 2 er
a
r
F
dA
F
•dl
G0
Mm
r
2
cos
|dl
|
ra
M
m
dl
r d r rb
b
| d l | cos | d l | cos( ) d r
Mm d A G0 r 2 d r
A
rb d A
ra
G rb
ra
0
Mm r2
dr
1 G0 Mm( rb
O x1 x2 x
kF
v
O x2 x1 x
弹簧伸长时，弹力作负功； 弹簧收缩时，弹力作正功。
弹簧的弹力做功只与始、末位置有关，与 具体路径无关。
2 重力的功
作用于质点上的重力 P mgk
位移元 dr dxi dyj dzk
z M(x, y, z)
•m
dr
O
mg
y
x
M 0 ( x0 , y0 ,0)
0
z (mgdz )
mgz
重力势能函数：
E p( z ) mgz
•m
dz
dr
mg
重力势能等于重力与质点和零势能点间高度差的乘积
势能曲线：势能随空间位置变化的函数关系曲线。
重力势能曲线
Ep
O
z
E p( z ) mgz
dr
Fds cos Ftds
M
dr
由 a b 所做的功∶
M•
b b
A
d
A
a
F
dr
a
F
cos d
s
a•
r
直角坐标下： F Fx
d
r
d
i
Fy
xi d
j
Fz k
yj d zk
dA F dr Fxdx Fydy Fzdz
A
xb xa
Fx
dx
yb ya
Fydy
质点由P1点沿L1运动到P2点的过程中，摩擦力所做的功为:
A
P2 dA
s
mgdl μmgs
P1
0
摩擦力的功不仅与始、末位置有关，还与具体的路径有关。
3.1.3、保守力与非保守力
A
1 2
kxa2
1 2
kxb2
z M(x, y, z)
m
mg•
dr
O
y
k
F
O xa xb x
m
a
ra
M
保守力都具有做功与路径无关而仅取决于始末位置的特点：
A (mgz2 mgz1)
A
(
1 2
k x22
1 2
k x12
)
A
G0
m1m2 rb
G0
m1m2 ra
保守力做功必然伴随着能量的变化，而这种能量仅与位置坐标有 关。把这种蕴含在保守力场中与物体位置有关的能量称为势能。
1、势能的定义：