第三章 功和能
v2
2
1 2 1 2 A mv2 mv1 Ek 2 Ek1 2 2
合外力对质点所作的功，等于质点动 能的增量 ——质点的动能定理 注意 功是过程量，动能是状态量； 作功是使物体（或系统）能量发 生变化的一种手段。作功多少则是 物体能量变化大小的量度。
第三章 功和能
A A A A A (E p E p0 )
ex in c in nc ex in c
i
i
( Ek Ep ) ( Ek 0 Ep0 )
A A ( Ek Ep ) ( Ek 0 Ep0 )
ex in nc
第三章 功和能
19
A A ( Ek Ep ) ( Ek 0 Ep0 )
16
功和能
保守力的功 A ( Ep 2 Ep1 ) EP ——保守力作功，势能减少 势能计算 令 Ep 0 0
A ( Ep Ep0 ) Ep
Ep ( x, y, z )
第三章
Ep 0 0
( x, y , z )
F dr
17
功和能
讨论 势能是状态的函数 Ep Ep ( x, y, z) 势能具有相对性，势能大小与势能零 点的选取有关．
即： 外力的功之和＋内力的功之和 ＝系统末动能－系统初动能
记作： A外＋A内＝EKB - EKA 质点系动能定理
所有外力对质点系作的功和内力对质点系 作的功之和等于质点系总动能的增量。 注意：内力能改变系统的总动能。
第三章 功和能
11
例2 一链条总长为l ，质量为m 。放在桌面上并使其一部分 下垂，下垂的长度为a ，设链条与桌面的滑动摩擦系数为 ， 令链条从静止开始运动，则：（1）到链条离开桌面的过程 中，摩擦力对链条做了多少功？（2）链条离开桌面时的速 率是多少？
l-a
O
分析：以链条和地球为系统，
摩擦力为非保守内力，重力为内力， 无外力做功，可应用功能原理。
a
x
第三章
功和能
25
例 把一个物体从地球表面上沿铅垂方向以第二宇宙速度
2GM e v0 Re
发射出去，阻力忽略不计。
求 物体从地面飞行到与地心相距 nRe 处（n为正整数）经历的 时间。 解 根据机械能守恒，物体到地心距离为 x 时，有
1、恒力的功 2、变力的功 重力的功 万有引力的功 弹性力作功
复 习 A F cos r F r
A dW F dr AL
B B A A
( L)
( F dx F dy )
x y
3、几种常见力的功
AG mg ( z a zb )
14
A ACB F dr ADB F dr l F dr ACB F dr BDA F dr W F dr 0
l
C
D
B
质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它 所作的功为零． 非保守力：力所作的功与路径有关．如摩擦力 保守力场:在空间的任何位置都受一个大小和方向 完全确定的保守力的作用
FN
P sin
P
Hale Waihona Puke 23思考：用牛顿第二定律怎样求解？
已知h 50 m , 0.050 , s' 500 m ,求 s .
Af mg cos s' mgs mg ( s' s) E2 E1 mgh Wf E2 E1 h s s' 500 m
O
Ep
13
3.4
势能
机械能守恒定律
一
保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式
保守力所作的功与路径无关，仅决定 于始、末位置．
m'm m'm 引力的功 A (G ) (G ) rB rA
弹力的功
1 2 1 2 A ( kxB kxA ) 2 2
第三章 功和能
第三章 功和能
10
两式相加得：

B1
A1
F 1 dr1

B2
A2
F 2 d r 2＋ f 1 d r 1 f 2 d r 2
A1 A2
B1
B2
1 1 1 1 2 2 2 2 m1 v 1 B＋ m 2 v 2 B （ m1 v 1 A＋ m 2 v 2 A） 2 2 2 2
得v g 2 [(l a 2 ) (l a) 2 ] l
第三章 功和能
1 2 1 2 W Wp W f 2 mv 2 mv0 1 2 v0 0 W p W f mv 2 2 2 l l mg mg ( l a ) 重力作功 W p P dr xdx a a l l-a 2l mg (l a) 2 前已得出： W f a 2 l 2 2 2
B B A1 F dr Ff dr mg cos dr
A
A
A A E E0 Af A1 A2 ( E p 2 Ek 2 ) ( E p1 Ek1 ) Af mgh
ex in nc
h
第三章 功和能
s' Ff
P cos
0

mgl(cos cos 0 )
第三章 功和能
FT v ds P
6
l
m 1.0 kg o 0 30
l 1.0 m o θ 10

0
d
A mgl(cos cos 0 ) 1 2 1 2 由动能定理 A mv mv0 2 2
dr1 r21 m2 f1 f 2 r2
dr2
dA f 1 d r1 f 2 d r 2 f1 f2
dA f 2 (d r 2 d r1 ) f 2 d (r 2 r1 )
r 2 r 1 r 21 两质点间的相对位移
0

d
FT v ds P
5
l
第三章
功和能
d s l d 解 d A F d s FT d s P d s 0 P d s mgl d cos
mgl sin d

d
A mgl sin d
Ek Ek 0 ( Ep Ep0 ) Ek Ep
第三章
功和能
21
例 3 雪橇从高50 m的山顶A点沿冰道由 静止下滑, 坡道AB长为500 m．滑至点B后，又 沿水平冰道继续滑行，滑行若干米后停止在C 处. 若μ=0.050．求雪橇沿水平冰道滑行的路 程.
第三章
功和能
22
解 选取雪橇、冰道和地球为一个系统 只有保守内力-重力和非保守内力-摩擦力做功
得 v
2 gl (cos cos 0 )
1
1.53 m s
FT v ds P
7
l
第三章
功和能
二 质点系的动能定理
1、一对作用力和反作用力的功 m1、m2组成一个封闭系统 在t 时间内
m1 : r 1 m2 : r 2
f1 f2
dr1 dr2
o
r1
m1
外力： F 1
B1
F2
1 1 2 2 m1 : F 1 d r 1 f 1 d r 1 m1v1 B m1v1 A A1 A1 2 2 B2 B2 1 1 2 2 m2 : F 2 d r 2 f 2 d r 2 m2 v 2 B m2 v 2 A A2 A2 2 2
h
s' Ff
P cos
FN
P
P sin
第三章
功和能
24
例 一链条总长为l ，质量为m 。放在桌面上并使其一部分下 垂，下垂的长度为a ，设链条与桌面的滑动摩擦系数为 ， 令链条从静止开始运动，则：（1）到链条离开桌面的过程 中，摩擦力对链条做了多少功？（2）链条离开桌面时的速 率是多少？
1 1 2 2 A ( kx2 kx 1 ) 2 2
*摩擦力的功
第三章 功和能
1
3.3 动能定理 一 质点的动能定理 dv dA F dr m dr dt dr md v mv dv dt
A
v1
F
θ
dr
B
d ( v v ) dv v v dv 2v d v 1 v dv d ( v v ) 2 1 1 1 2 F dr mv dv md ( v v ) mdv d ( mv 2 ) 2 2 2 1 2 dA F dr d ( mv ) 2
解：(1) 把整个链条作为一个 系统，建坐标系如图 摩擦力
l-a
O
m f (l x) g l
a
x
mg 1 2 l mg 2 [ (lx x )]a (l a ) l 2 2l
第三章 功和能
注意：摩擦 力作负功！
12
(2)链条离开桌面时的速率,对链条应用动能定理：
mg (l a ) mg (l a ) 1 2 mv 2l 2l 2
第三章 功和能
15
二
势能
与质点位置有关的能量． 重力势能 引力势能
重力的功 引力的功
m' m m' m A (G ) (G ) rB rA
m' m Ep G r