高三理科数学《立体几何》测试题（带答案）1、如图，在 C 中， C 45 ，点在上，且 C 2，平3面 C ， D // ， D 1．21 求证：// 平面 C D ；2 求二面角CD 的余弦值．（ 1）明：因PO 平面 ABC ，D// 所以 DA AB, PO AB又 DA AO 1PO ,所以AOD4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分2又 AO 1PO,即 OB OP, 所以 OBP ，即 OD // PB, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4分2 4又 PB 平面 COD, OD 平面 COD, 所以 PB // 平面 COD 。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6分（ 2）解：A作AM DO,垂足为 M，过 M作MN CD于N ,连接AN ,ANM 即为二面角 O CD A的平面角。

⋯⋯⋯⋯⋯⋯.8分设 AD a，在等腰直角AOD 中，得 AM 2a，在直角COD 中，得 MN3a，2 3在直角AMN 中，得 AN 30a，所以 cos ANM 10 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .12分6 52、如图，在棱长为2的正方体CD11C1D1中，、F分别为1D1和CC1的中点．1 求证：F// 平面CD1；2 求异面直线 F 与所成的角的余弦值；3 在棱 1 上是否存在一点，使得二面角C的大小为 30 ？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．解：如分以DA、DC、DD1所在的直x 、 y 、 z 建立空 直角坐 系D-xyz ，由已知得 D (0 ， 0， 0) 、 A (2 ， 0， 0) 、 B (2 ， 2， 0) 、 C (0 ， 2， 0) 、B 1(2 ， 2， 2) 、 D 1(0 ， 0，2) 、 E (1 ， 0， 2 ) 、 F (0 ， 2， 1) ．(1) 取 AD 1 中点 G ， G （ 1， 0， 1）， CG =（1， -2 ， 1），又 EF =（ -1 ， 2， -1 ），由 EF = CG ，∴ EF 与 CG 共 ．从而 ＥＦ ∥ ＣＧ，∵ CG 平面 ACD 1， EF平面 ACD 1，∴ EF ∥平面 ACD 1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分(2) ∵ AB =(0,2 ， 0) ，cos< EF , AB >=EF AB 4 6 ，| EF | | AB | 2 63∴异面直 EF 与 AB 所成角的余弦6. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分3(3) 假 足条件的点 P 存在，可 点 P (2 ， 2，t )(0< t ≤2) ，平面 ACP 的一个法向量n =( x ，y ， z ) ，n AC0,AC =(-2 ， 2， 0) ，∵ AP =(0 ， 2， t ),n AP 0.2x 2 y 0,2∴tz取 n (1,1,) .2 y 0,t易知平面 ABC 的一个法向量 BB 1(0,0,2) ，依 意知， < BB 1 ， n >=30°或 < BB 1 ， n >=150 °，| 4 |3∴ |cos< BB 1 ， n >|=t4 ，2222t即4 3(24) ，解得 t 6 . t 2 4 t 2 36(0,2]∵3∴在棱 BB 上存在一点 P，当 BP的 6 ，二面角P- AC- B的大小30°⋯⋯⋯⋯⋯13 分133、如图所示，在四棱锥CD在线段 C 上，C平面D．1 求证：D平面 C ；中，底面CD 为矩形，平面CD ，点2 若1， D 2 ，求二面角C的余弦值．(1) 明：∵PA 平面 ABCD ，BD 平面 ABCD∴PA BD ．同理由 PC 平面 BDE ，可得 PC BD ．又 PA PC P ，∴ BD 平面 PAC ．(2)解：如，分以射 AB ， AD ， AP x， y ，z的正半建立空直角坐系A xyz ．由 (1) 知BD平面PAC，又AC平面PAC，∴BD AC ．故矩形 ABCD 正方形，∴AB＝ BC＝ CD＝ AD＝2 ．∴A(0，0，0)， B(2，0，0)， C( 2，2，0)， D (0，2，0)， P(0，01，) ．∴ PB 2,0,1 , BC 0,2,0 , BD 2,2,0 ．平面 PBC 的一个法向量nn PB 0 2x 0 y z 0 (x, y, z) ，，即，n BC 0 0 x 2y 0 z 0z 2x(1,0,2) ．∴，取 x 1 ，得 ny 0∵ BD 平面 PAC ，∴BD ( 2,2,0) 平面PAC的一个法向量．所以cos n, BDn BD 10n BD ．10二面角 B PCA 的平面角，由 知 0 ， cos10 cos n, D210二面角C的余弦 是10 104、如图，平面 CD 平面 D F ，其中 CD 为矩形， D F 为梯形， F//D，F F ， F D 2D 2 ．1 求异面直线 F 与 C 所成角的大小；2 若二面角F D 的平面角的余弦值为1，求3的长．解： (1) 延 AD ， FE 交于 Q ． 因 ABCD 是矩形，所以 BC ∥AD ，所以∠ AQF 是异面直 EF 与 BC 所成的角．在梯形 ADEF 中，因 DE ∥ AF ，AF ⊥FE ，AF ＝2， DE ＝ 1 得∠ AQF ＝30°．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分(2) 方法一： AB ＝ x ．取 AF 的中点 G ．由 意得DG ⊥ AF ．因 平面 ABCD ⊥平面 ADEF ， AB ⊥ AD ，所以 AB ⊥平面 ADEF ，所以 AB ⊥ DG ．所以 DG ⊥平面 ABF ．G 作 GH ⊥ BF ，垂足 H ， DH ， DH ⊥ BF ，所以∠ DHG 二面角 A － BF － D 的平面角．在直角△ AGD 中， AD ＝ 2， AG ＝ 1，得 DG ＝ 3 ． 在直角△ BAF 中，由AB＝sin ∠AFB ＝GH，得GH＝1 ，BFFG xx 2 4所以 GH ＝x ．在直角△ DGH 中， DG ＝ 3 ， GH ＝x ，得 DH ＝ 2x 23 ．x 24x 24 x 2 4因 cos ∠ DHG ＝GH＝ 1，得 x ＝215 ，所以 AB ＝ 215 ．⋯⋯⋯⋯15 分DH355方法二： AB ＝ x ．以 F 原点， AF ， FQ 所在的直 分x ， y 建立空 直角坐 系 Fxyz ．F(0， 0， 0)， A(－ 2， 0，0)， E(3 ， 0， 0)， D( －1， 3 ， 0)， B(－ 2， 0， x)，所以 DF ＝ (1，－ 3 ， 0)， BF ＝ (2， 0，－ x)．z因 EF ⊥平面 ABFBC所以平面 ABF 的法向量可取 n 1 ＝ (0， 1， 0)．ADyEF xn 2 ＝ (x 1，y 1，z 1) 平面 BFD的法向量， 2x 1 z 1 x 0, x 13y 10,所以，可取 n 2 ＝ (2 33 ，1，)．xn 1 n 2 ＝1 ，得 x ＝2 ，所以 AB ＝2 ．因 cos< n 1 ， n 2 >＝ 3 15 15| n 1 | | n 2 |555、如图，已知D D 21 求证：F//平面 CD ， D ， F 为 CD 的中点．平面 C ；平面CD，C 为等边三角形，2 求证：平面C平面 CD；3 求直线F 和平面C 所成角的正弦值．（ 1） 明：取 CE 的中点 G, FG 、 BG. 可 得四 形 GFAB 平行四 形，AF//BG即可 得 AF// 平面 BCE. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..(4 分)（ 2）依 意 得 BG平面 CDE ，即可 得平面BCE平面 CDE ⋯⋯ .(8 分 )（ 3）解：AD=DE=2AB=2, 建立如 所示的坐 系A — xyz,A(0,0,0),C(2,0,0),B(0,0,1),D(1, 3 ,0),E(1, 3（ 33,0),2),F ,22平面 BCE 的法向量 n ( x, y, z), 由 n BE0, n BC 0可取 n (1,3,2) ， BF( 3 , 3, 1)2 2BF 和平面 BCE 所成的角， ：BF n2sin =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ (12 分 )4BF n6、如图，三棱柱C1 1C 1 的底面是边长为 4 的正三角形，1平面C ，1 2 6 ， 为11 的中点．1 求证：C；2 在棱 CC 1 上是否存在点 ，使得 C 平面？若存在，确定点 的位置；若不存在，请说明理由．3 若点 为 CC 1 的中点，求二面角C 的余弦值．（1）解：取中点，连结， C ．为 1 1 的中点//11平面 C平面 C⋯⋯⋯⋯ 2 分7、如图，已知C 1 1C1 是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是 2 ， D 为侧棱 CC1的中点，为1 1 的中点．1 求证：D；2 求直线 1 1到平面 D 的距离；3 求二面角 D C 的正切值．(1)证明 :连结 C1 E,则 C1E A1B1,又∵ A1B1 C1C∴A1B1平面 EDC1∴A1B1 DE,而 A1B1//AB∴ AB DE.(2) 取 AB 中点为 F,连结 EF,DF,则 EF AB∴ AB DF过 E 作直线 EH DF 于 H 点 ,则 EH 平面 DAB∴ EH 就是直线 A1B1到平面 DAB的距离在矩形 C1 EFC中,∵ AA1=AB=2,∴ EF=2,C1E= 3,DF=2, ∴在△ DEF中 ,EH= 3,故直线 A1B1到平面 DAB的距离为 3(3)过 A 作 AM BC于 M 点 ,则 AM 平面 CDB过 M 作 MN BD 于 N 点 ,连结 AN,则 AN BD∴∠ ANM 即为所求二面角的平面角在Rt△ DCB中 ,BC=2,DC=1,M为 BC中点∴ MN=55AM在 Rt△ AMN 中 ,tan∠ ANM== 15MN8、如图，在直三棱柱 1 1C1 C 中， C ， C 2 ，1 4 ，点D 是 C 的中点．1 求异面直线1与 C1D 所成角的余弦值；2 求平面 DC1与平面 1 所成二面角的正弦值．（ 1）以{ AB, AC, AA1}为单位正交基底建立空间直角坐标系A xyz ,则A( 0,0,0) , B(2,0,0) , C (0,2,0) ,A1( 0,0,4), D (1,1,0) ,C1(0,2,4)．A1 B (2,0, 4) , C1 D (1, 1, 4)cosA1 B C1 D 18 3 10 A1 B,C1D20 18 10A1 B C1D异面直线 A1B 与 C1 D 所成角的余弦值为 3 10． 6 分10（ 2）AC(0,2,0) 是平面ABA1的的一个法向量设平面 ADC1的法向量为m( x, y, z) , AD (1,1,0) ， AC1 (0,2,4) ，由 m AD ， m AC1 得x y 0 2 y 4z 0取z 1 得y 2， x 2,,所以平面ADC1的法向量为m (2, 2,1) ．设平面ADC1与ABA1所成二面角为．cos cos AC, mAC m 4 22 3 ,得AC m 3sin5．3所以平面 ADC1与 ABA1所成二面角的正弦值为 5 ．12 分3。