2007—2008学年崇雅中学高三考试理科数学综合测试题（一）本卷满分150分 试卷用时120分钟第一部分 选择题(共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列语句不属于基本算法语句的是（ ）A .赋值语句B .运算语句C .条件语句D .循环语句 2.已知i 是虚数单位，那么=-+2)11(ii （ ） A .i B .-i C .1 D .-13.已知A 、B 是两个集合，它们的关系如图所示，则下列式子正确的是( )A .A ∪B =B B .A ∩B =AC .(A B )∪B =AD .(A B )∩A =B 4.空间四点A 、B 、C 、D 共面的一个充分不必要条件是 ( )A .AB ∥CD B . ABCD 构成四边形C .AB=CD D . AC ⊥BD 5.关于数列3，9，…，729，以下结论正确的是( ) A .此数列不能构成等差数列，也不能构成等比数列 B .此数列能构成等差数列，但不能构成等比数列 C .此数列不能构成等差数列，但能构成等比数列 D .此数列能构成等差数列，也能构成等比数列 6.甲、乙两名学生在5次数学考试中的成绩统计如右面的茎叶图所示，若甲x 、乙x 分别表示甲、乙两人的平均成绩，则下列结论正确的是( )A .甲x >乙x ，乙比甲稳定B .甲x >乙x ，甲比乙稳定C .甲x <乙x ，乙比甲稳定D .甲x <乙x ，甲比乙稳定7.以双曲线191622=-x y 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A .191622=+y xB .116922=+y xC .192522=+y xD .125922=+y xA B甲 乙 4 7 7 7 8 8 2 8 6 5 1 9 28.函数x x A y ωωcos sin =（0,0>>ωA ）的最小正周期是π，最大值是2，则函数)sin(2)(Ax x f πω+=的一个单调递增区间是( )A .]2,2[ππ-B .]43,4[ππ-C .]45,4[ππD .]49,45[ππ第二部分 非选择题(共110分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共30分；其中第13~15题是选做题． 9.若32200<-⎰⎰ttdx xdx ，则∈t .10.已知3)(a x +与6)5(-x 的展开式中，2x 的系数相同，那么=a 5log .11.给出平面区域如右图所示，若点C 是目标函数y ax z -=取最小值的唯一最优解，则实数a 的取值范围是 . 12.下列四个函数：①31)(x x f =；②xx f 2)(=；③⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>-=)0(3)0(0)0(3)(22x x x x x x f ；④x x x f -=3)(3. 其中为奇函数的是 ；在(1，+∞)上单调递增的函数是 . （分别填写所有满足条件的函数序号）注意：以下三道小题中，请选做其中二题，如果选做多于二题，则只计前二题的得分. 13.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧==ty t x 3（t 为参数），则此直线的倾斜角=α ；又半径为2，经过原点O 的圆C ，其圆心在第一象限并且在直线l 上，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的极坐标方程为 . 14.若关于x 的不等式k x x >---|5||2|的解集不是空集，则实数k 的取值区间为 .15. 如图，⊙O 中，直径AB 和弦DE 互相垂直，C 是DE 延长线上一点，连结BC 与圆交于F ，若α=∠CFE ))2,0((πα∈，则=∠DEB ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知平面向量a ),1(x =，b ),32(x x -+=（R x ∈）. （Ⅰ）若a ⊥b ，求x 的值； （Ⅱ）若a ∥b ，求|a -b |. 17．（本小题满分12分） 已知△ABC 中，52π==C B ，记x A =cos ，y C B ==cos cos . （Ⅰ）求证：221x y =+； （Ⅱ）若△ABC 的面积等于5sin 2π，求AC 边上的中线BD 的长.在四棱锥P —ABCD 中，AD ⊥AB ，CD ∥AB ，PD ⊥底面ABCD ，2 ADAB，直线PA 与底面ABCD 成60°角，点M 、N 分别是PA 、PB 的中点. （Ⅰ）求二面角P —MN —D 的大小； （Ⅱ）当ABCD的值为多少时，△CDN 为直角三角形？19．（本小题满分14分）烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染. 已知A 、B 两座烟囱相距20km ，其中B 烟囱喷出的烟尘量是A 烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比.（比例系数为k ）.若C 是AB 连线上的点，设AC=x km ，C 点的烟尘浓度记为y . （Ⅰ）写出y 关于x 的函数表达式； （Ⅱ）是否存在这样的点C ，使该点的烟尘浓度最低？若存在，求出AC 的距离；若不存在，说明理由.PABC DMN如图，F是定直线l外的一个定点，C是lCF为半径的圆与l交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与圆C P和点Q，则P、Q必在以F为焦点，l为准线的同一条抛物线上.（Ⅰ）建立适当的坐标系，求出该抛物线的方程；（Ⅱ）对以上结论的反向思考可以得到另一个命题：“若过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P、Q两点，则以PQ为直径的圆一定与抛物线的准线l相切”请问：此命题是否正确？试证明你的判断；（Ⅲ）请选择椭圆或双曲线之一类比（Ⅱ）写出相应的命题并证明其真假.（只选择一种曲线解答即可，若两种都选，则以第一选择为评分依据）注：椭圆和双曲线的准线所满足的条件为：曲线上任意一点到一个焦点的距离和到这个焦点所对应的准线的距离的比等于曲线的离心率.21．（本小题满分14分）有一个翻硬币游戏，开始时硬币正面朝上，然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币：① 骰子出现1点时，不翻动硬币；② 出现2，3，4，5点时，翻动一下硬币，使另一面朝上；③ 出现6点时，如果硬币正面朝上，则不翻动硬币；否则，翻动硬币，使正面朝上. 按以上规则，在骰子掷了n 次后，硬币仍然正面朝上的概率记为P n . （Ⅰ）求证：*N n ∈∀，点（P n ，P n +1）恒在过定点（95，95），斜率为21-的直线上； （Ⅱ）求数列{P n }的通项公式P n ； （Ⅲ）用记号m n S →表示数列{95-n P }从第n 项到第m 项之和，那么对于任意给定的正整数k ，求数列k S →1，k k S 21→+，…，nk k n S →+-1)1(，… 的前n 项和T n .高三数学（理科）综合测试题（一）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.B2. D3. C4.A5.D6.A7.D8.D .二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9.（-1，3）. 10.5. 11.)103,512(--. 12.①③④（2分）； ②③④.（3分） 13.6π.（2分）；)6cos(4πθρ-=.（3分） 14.(-∞，3). 15.α三、解答题（本大题共6小题，共80分） 16.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则a ·b ),1(x =·),32(x x -+0)()32(1=-++⨯=x x x . 整理得0322=--x x ，解得：1-=x 或3=x .………………………4分 （Ⅱ）若a ∥b ，则有0)32()(1=+--⨯x x x ，即 0)42(=+x x . 解得：0=x 或2-=x .………………………………………………8分 当0=x 时，a )0,1(=，b )0,3(=； ∴|a -b |=|)0,1()0,3(-|=|)0,2(-|20)2(22=+-=.………………10分当2-=x 时，a )2,1(-=，b )2,1(-=； ∴|a -b |=|)2,1(-)2,1(--|=|)4,2(-|52)4(222=-+=. ……12分17．（本小题满分12分） （Ⅰ）证：∵52π==C B ，∴554)(ππππ=-=+-=C B A ∴2225cos 252cos 11x y ==+=+ππ.………………………6分 （Ⅱ）解：设△ABC 中，角B 、C 所对的边分别为b 、c ，则有5sin 2sin 21π=A bc ，∵c b =，5π=A ， ∴5sin45sin2ππ=b ，故2==c b .………………………9分又5cos 12212cos 22)2(22222π⨯⨯⨯-+=⨯⨯-+=A b c b c BD 5cos 45π-=， ∴5cos45π-=BD .………………………12分18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）∵PD ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥PD ，又AB ⊥AD ， ∴AB ⊥面PAD .又MN 是△PAB 的中位线， ∴MN ∥AB ，从而MN ⊥面PAD .∴∠PMD 为二面角P —MN —D 的平面角………4分由已知，在Rt △PAD 中，易证：∠PAD=60°，而M 是PA 的中点，∴∠PMD=120°. 即所求二面角P —MN —D 的大小为120°.……………………6分 （Ⅱ）令x ABCD=，不妨设AD=2，则x AD x xAB CD 42=⋅==.……………8分 以D 为原点，DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则 D （0，0，0），N （1，2，3），C （0，4x ，0），∴=（1，2，3），=（1，2-4x ，3）；………………………10分 若△CDN 为直角三角形，则必有CN DN ⊥，即0=⋅CN DN 于是有033)42(211=⨯+-+⨯x ，解得1=x . ∴当1=ABCD时，△CDN 为直角三角形.……………………………………14分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）不妨设A 烟囱喷出的烟尘量为1，则B 烟囱喷出的烟尘量为8，由AC=x ，)200(<<x ，可得BC=20-x ；……………………………………………3分依题意，点C 处的烟尘浓度y 的函数表达式为：22)20(8x k x k y -⋅+=，)200(<<x ………………………………6分 （Ⅱ）对（Ⅰ）中的函数表达式求导得332333)20()80001200609(2)20(162x x x x x k x k x k y --+-=-+-='；……………9分令0='y ，得0)4003()203(2=+⋅-x x ；又200<<x ，∴320=x . ………………………………………………12分 ∵当)320,0(∈x 时，0<'y ；当)20,320(∈x 时，0>'y ，∴当320=x 时，y 取最小值.故存在点C ，当km AC 320=时，该点的烟尘浓度最低. ………………14分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）过F 作l 的垂线交l 于K ，以KF 的中点为原点，KF 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系如图1，并设|KF|=p ，则可得该该抛物线的 方程为 )0(22>=p px y .………………………4分 （Ⅱ）该命题为真命题，证明如下：如图2，设PQ 中点为M ，P 、Q 、M 在抛物线 准线l 上的射影分别为A 、B 、D ， ∵PQ 是抛物线过焦点F 的弦，∴ |PF|=|PA|，|QF|=|QB|，又|MD|是梯形APQB 的中位线， ∴)||||(21)||||(21||QF PF QB PA MD =+=+=∵M 是以PQ 为直径的圆的圆心，∴圆M 与l 相切.（注：也可利用方程及坐标证明）. ……………8（Ⅲ）选择椭圆类比（Ⅱ）所写出的命题为： “过椭圆一焦点F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点， 则以PQ 为直径的圆一定与椭圆相应的准线l 相离”此命题为真命题，证明如下：…………………… 证明：设PQ 中点为M ，椭圆的离心率为e ，则0<e <1，P 、Q 、M 在相应准线l 上的射影分别为A 、B 、D ，∵e PA PF =||||，∴e PF PA ||||=； 同理得 eQF QB ||||=. ∵|MD|是梯形APQB 的中位线， ∴2||2||)||||(212||||||PQ e PQ e QF e PF QB PA MD >=+=+=. ∴圆M 与准线l 相离. ………………………………………………………14分选择双曲线类比（Ⅱ）所写出的命题为：“过双曲线一焦点F 的直线与双曲线交于P 、Q 两点，则以PQ 为直径的圆一定与双曲线相应的准线l 相交”. 此命题为真命题，证明如下：……………………11分证明：设PQ 中点为M ，双曲线的离心率为e ，则e >1，P 、Q 、M 在相应准线l 上的 射影分别为A 、B 、D ，∵e PA PF =||||，∴e PF PA ||||=； 同理得 eQF QB ||||=. ∵|MD|是梯形APQB 的中位线， ∴2||2||)||||(212||||||PQ e PQ e QF e PF QB PA MD <=+=+=. ∴圆M 与准线l 相交. ………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设把骰子掷了n +1次，硬币仍然正面朝上的概率为P n +1，此时有两种情况： ① 第n 次硬币正面朝上，其概率为P n ，且第n +1次骰子出现1点或6点，硬币不动，其概率为3162=；因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为n P 31.………3分② 第n 次硬币反面朝上，其概率为1-P n ，且第n +1次骰子出现2，3，4，5点或6点，其概率为65； 因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为)1(65n P -. ∴)1(65311n n n P P P -+=+，变形得 )95(21951--=-+n n P P .∴点（P n ，P n +1）恒在过定点（95，95），斜率为21-的直线上. ……………6分（Ⅱ）10=P ，31)1(6531001=-+=P P P ，又由（Ⅰ）知：2195951-=--+n n P P ， ∴{95-n P }是首项为929531951-=-=-P ，公比为21-的等比数列，……8分 ∴1)21(9295--⋅-=-n n P ，故所求通项公式为229)1(95-⋅-+=n n n P . ………10分 （Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知{95-n P }是首项为929511-=-=P a ，公比为21-=q 的等比数列，又 ∵kk k n k nk nk k n k n nk q q q q a q q q a S S =++++++=---→+-+→+)1()1(1)1(1111)1()1(1 （*N k ∈）是常数， ∴k S →1，k k S 21→+，…，nk k n S →+-1)1(，…，也成等比数列，……………………12分且])21(1[274211])21(1[921k k kS ---=+---=→高三数学（理科）综合测试卷第11页 （共6页） 从而 ])21(1[274)21(1])21(1[])21(1[2741)1(1kn kkn k k kn k n q q S T ---=----⋅---=--=→. ………………………………………………………………………………14分解法二：=n T k S →1+k k S 21→++…+nk k n S →+-1)1(nk a a a ++=21 ])21(1[274211])21(1[92nk nk ---=+---=.……………………………14分。