Z 数学（理科）试题第 1 页 (共 13 页)高三数学测试题(理科)姓名______________ 准考证号___________________ 本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分 (共50分)注意事项:1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合S ＝{x |3＜x ≤6}，T ＝{x |x 2－4x －5≤0}，则＝ A ．(－≦，3]∪(6，＋≦) B ．(－≦，3]∪(5，＋≦) C ．(－≦，－1)∪(6，＋≦)D ．(－≦，－1)∪(5，＋≦)R (S ∩T )2.已知i是虚数单位，则3i2i-+＝A．－1＋i B．－1－i C．1＋i D．1－i3．设函数f(x)＝x2－ax＋b (a，b∈R)，则“f(x)＝0在区间[1，2]有两个不同的实根”是“2＜a＜4”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于A．10 cm3B．20 cm3C．30 cm3D．40 cm35．已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m，β∩γ＝n．A．若m⊥n，则α⊥βB．若α⊥β，则m⊥nC．若m∥n，则α∥βD．若α∥β，则m∥n6．已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个．每次从该箱中取1个球(有放回，每球取到的机会均等)，共取三次．设事件A：“第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件B：“三次取到的球颜色都相同”，则P(B|A)＝A．16B．13C．23D．17．设a，b为单位向量，若向量c满足|c－(a＋b)|＝|a－b|，则|c|的最大值是A．B．2 CD．18．如图，A，F分别是双曲线2222C 1 (0)x ya ba b-=：，＞的左顶点、右焦点，过F的直线l与C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点．若AP⊥AQ，则C的离心率是ABCD9．若0＜x，y＜π2，且sin x＝x cos y，则俯视图(第4题图)Z数学（理科）试题第2页 (共13页)Z 数学（理科）试题第 3 页 (共 13 页)A ．y ＜4x B ．4x ＜y ＜2x C ．2x＜y ＜x D ．x ＜y 10．如图，正三棱锥P －ABC 的所有棱长都为4．点D ，E ，F 分别在棱P A ，PB ，PC 上，满足DE ＝EF ＝3，DF ＝2的△DEF 个数是A ．1B ．2C ．3D ．4ACP D EF (第10题图)Z 数学（理科）试题第 4 页 (共 13 页)非选择题部分 (共100分)注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于 ．12．若二项式n 的展开式中的常数项是80，则该展开式中的二项式系数之和等于 ． 13．已知点O (0，0)，A (2，0)，B (－4，0)，点C 在直线l ：y ＝－x上．若CO 是∠ACB 的平分线，则点C 的坐标为 ．14．设x ，y ∈R ，若不等式组 320,220,10x y x y ax y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域是一个锐角三角形，则a 的取值范围是 ．15．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3，CD ＝4．过AC与BD 的交点O 作EF ∥AB ，分别交AD ，BC 于点E ，F ，则EF ＝ ．16．由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有 个．17．设数列{a n }满足a n ＋1＝2n a －2，n ∈N *．若存在常数A ，对于任意n ∈N *，恒有|a n |≤A ，则a 1的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．(本题满分14分) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 满足4 sin A sin C －2 cos (A －C )＝1．(Ⅰ) 求角B 的大小；(Ⅱ) 求sin A ＋2 sin C 的取值范围．(第11题图) (第15题图)Z 数学（理科）试题第 5 页 (共 13 页)19．(本题满分14分) 如图，已知曲线C ：y ＝x 2 (0≤x ≤1)，O (0，0)，Q (1，0)，R (1，1)．取线段OQ 的中点A 1，过A 1作x 轴的垂线交曲线C 于P 1，过P 1作y 轴的垂线交RQ 于B 1，记a 1为矩形A 1P 1B 1Q 的面积．分别取线段OA 1，P 1B 1的中点A 2，A 3，过A 2，A 3分别作x 轴的垂线交曲线C 于P 2，P 3，过P 2，P 3分别作y 轴的垂线交A 1P 1，RB 1于B 2，B 3，记a 2为两个矩形A 2P 2B 2 A 1与矩形A 3P 3B 3B 1的面积之和．以此类推，记a n 为2n－1个矩形面积之和，从而得数列{a n }，设这个数列的前n 项和为S n ． (Ｉ) 求a 2与a n ；(Ⅱ) 求S n ，并证明S n ＜13．20．(本题满分15分) 在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，AB ＝CD． (Ⅰ) 证明：BD ⊥平面P AC ；(Ⅱ) 若二面角A －PC －D 的大小为60°，求AP 的值．21．(本题满分15分) 如图，已知O (0，0)，E (，0)，F，0)，圆F ：(x)2＋y 2＝5．动点P 满足 |PE |＋|PF |＝4．以P 为圆心，|OP |为半径的圆P 与圆F 的一个公共点为Q ．(Ⅰ) 求点P 的轨迹方程；(Ⅱ) 证明：点Q 到直线PF 的距离为定值，并求此值．22．(本题满分14分) 已知a 为给定的正实数，m 为实数，函数f(x )＝ax 3－3(m ＋a )x 2＋12mx ＋1．(Ⅰ) 若f(x )在(0，3)上无极值点，求m 的值；(Ⅱ) 若存在x 0∈(0，3)，使得f(x 0)是f(x )在[0，3]上的最值，求m 的取值范围．ABDCP(第20题图)(第19题图)(第21题图)测试卷A答案数学(理科)说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数。
选择题和填空题不给中间分。
五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分。
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。
每小题5分，满分50分。
1．B 2．D 3．A 4．B5．D6．B 7．A 8．D 9．C 10．C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。
每小题4分，满分28分。
11．313212．32 13．(4，－4) 14．(－2，－13)15．24716．120 17．[－2，2]三、解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．本题主要考查三角变换、三角函数值域等基础知识，同时考查运算求解能力。
满分14分。
(Ⅰ) 因为4sin A sin C－2 cos (A－C)＝4sin A sin C－2cos A cos C＋2 sin A sin C＝－2(cos A cos C－sin A sin C)，所以－2 cos (A＋C)＝1，故Z数学（理科）试题第6页 (共13页)Z 数学（理科）试题第 7 页 (共 13 页)cos B ＝12． 又0＜B ＜π，所以B ＝π3． ………… 6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知C ＝2π3－A ，故sin A ＋2 sin C ＝2 sin Acos Asin (A ＋θ)， 其中0＜θ＜π2，且sin θcos θ由0＜A ＜2π3知，θ＜A ＋θ＜2π3＋θ，故sin (A ＋θ)≤1． 所以sin A ＋2 sin C ∈]． ………… 14分 19．本题主要考查等比数列的概念与求和公式、不等式等基础知识，同时考查运算求解能力。
满分14分。
(Ｉ) 由题意知P 1(12，21()2)， 故a 1＝12×21()2＝18． 又P 2(212，221()2)， P 3(232，223()2)， 故a 2＝212×[221()2＋223()2－222()2]＝612×(12＋32－22)＝332． 由题意，对任意的k ＝1，2，3，…，n ，有12k i P -+(212k i +，221()2k i +)， i ＝0，1，2，…，2k －1－1，Z 数学（理科）试题第 8 页 (共 13 页)故a n ＝12n ×[21()2n ＋23()2n －22()2n ＋25()2n －24()2n ＋…＋221()2n n -－222()2n n -]＝312n ×[12＋32－22＋52－42＋…＋(2n －1)2－(2n －2)2] ＝312n ×{1＋(4×1＋1)＋(4×2＋1)＋…＋[4×(2n －1－1)＋1]} ＝312n ×11[14(21)1]22n n --+⨯-+⨯＝21212n n +-． 所以a 2＝332， a n ＝21212n n +-， n ∈N *． ………… 10分(Ⅱ) 由(Ｉ)知a n ＝1211122n n ++-， n ∈N *， 故S n ＝11(1)42112n ⨯--－11(1)84114n ⨯--＝11(1)22n ⨯-－11(1)64n ⨯-＝2121232132n n n ++-⨯+⨯． 又对任意的n ∈N *，有321n ⨯-＞0，所以S n ＝13-2132132n n +⨯-⨯＜13． ………… 14分 20．本题主要考查空间线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。