第二次习题课（函数极限、无穷小比较）
一、内容提要
1.函数极限定义，验证21lim 3
=+→x x . 2.极限性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式）.
3.极限四则运算.求x
e e x
x x 230lim -→-. 4.收敛准则（迫敛准则、柯西收敛准则、归结原则）.
5.无穷小与无穷大（无穷小比较、等价无穷小替换定理、渐近线的求法）.
6.重要极限与常用等价无穷小.
二、客观题
1.当0→x 时，下列四个无穷小中，（ ）是比其它三个更高阶的无穷小.为什么？
（A ）2x ； (B)x cos 1-； (C)112--x ； (D)x x sin tan -
2.已知5)(cos sin lim 0=--→b x a
e x x x ，则), (=a ) (=b . 3.的是时，当 sin 02x x x x -→（ ）.
)(A 低阶无穷小；)(B 高阶无穷小；)(C 等价无穷小；)(D 同阶无穷小但非等价无穷小.
4.
则它的连续区间是（ ）. 5.当x →0时下列变量中与x 是等价无穷小量的有 [ ].
)(A x 2
1
sin ； )(B )1ln(x +； )(C 2x ； )(D x x -22. 7.设x
x x f 11)(2-+=，则0=x 是)(x f 的间断点，其类型是．____________ 三、解答题
1利用重要极限求下列函数极限
（1）17lim 1x x x x -→∞+⎛⎫ ⎪+⎝⎭
（二重），（2）设n n n n n a x !=，求极限n n n x x 1lim +∞→，（3）求极限()210cos lim x x x →， 解：()()321cos 1cos 1010)1(cos 1lim cos lim x x x x x x x x -⋅-→→-+=211
cos lim 30--==→e e x x x
2.利用等价无穷小的性质求下列极限：
（1）()x x x sin 31ln lim 0-→； （2）bx x ax x tan sin lim 20+→，0≠b ； （3）1
1sin 1lim 20--+→x x e x x . 3.利用连续函数求下列极限：
(1)()x ax x +→1ln lim 0；(2)x e x x 1lim 0-→(提示：令1-=x e t )；（3）()x x x 2cot 20tan 31lim +→.
4.利用函数极限的归结原则求数列极限
（1）n n x 2sin lim ∞→， （2）n
n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→2211lim . 5.设()⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0][0sin x x x x x ax x f ，应怎样选取数a ，才能()x f 使处处连续？
6.已知 1)1
1(l i m 23=--++∞→b ax x x x ，求常数,a 和b 。

（极限分析） 四、证明题
1.若)(x f 为周期函数，且0)(lim =∞
→x f x ，试证明) ,( ,0)(∞+-∞∈≡x x f . 2. 利用函数极限的归结原则证明x x cos lim ∞
→不存在. 3.设),)((~)(0x x x g x f →证明：))(()()(x f o x g x f =-.
4.设函数f 在),0(∞+上满足方程)()2(x f x f =，且A x f x =+∞
→)(lim ，证明：A x f ≡)(，),0(∞+∈x .
5．设函数f 在),0(∞+上满足方程)()(2x f x f =，且)1()(lim )(lim 0f x f x f x x ==+∞
→→+，证明：)1()(f x f ≡，),0(∞+∈x .。