函数与极限测试题（一）
一、
填空题
1、若1ln 1
1ln x f x x
+⎛⎫=
⎪-⎝⎭，则()f x =_____。
2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。
3、若0x →时，无穷小2
21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。
4、设()()2
1lim 1
n n x
f x nx →∞
-=+，则()f x 的间断点为x =_____。
二、
单选题
1、当0x →时，变量
2
11
sin x x
是（ ） A 、无穷小 B 、无穷大
C 、有界的，但不是无穷小
D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x
f x a e
=+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ）
A 、0,0a b <<
B 、0,0a b >>
C 、0,0a b ≥<
D 、0,0a b ≤> 3、设()232x
x
f x =+-，则当0x →时（ ）
A 、()f x 与x 是等价无穷小
B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小
C 、()f x 是x 的高阶无穷小
D 、()f x 是x 的低阶无穷小
4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ϕ≤≤，且()()lim 0x g x x ϕ→∞
-=⎡⎤⎣⎦，
则()lim x f x →∞
为（ ）
A 、存在且等于零
B 、存在但不一定等于零
C 、一定不存在
D 、不一定存在
例：()()()11
,,22
1
x x f x x g x x x x ϕ==+
=+
++ 三、 求下列极限
1
、
lim
x 2、()2
21212lim 1x
x x x x -→⎛⎫ ⎪+⎝⎭
四、
确定,a b 的值，使()
32
2ln 10
011ln 0
1ax x f x b
x x x x x x x ⎧+<==⎨⎪-+⎪>++⎪⎩
在(),-∞+∞内连续。
五、
指出函数()1
11x
x x
e e
f x e e
--=
-的间断点及其类型。
六、
设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程
31240123
a a a a
x x x x +++=---有且仅有三个实根。
七、
设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明：
在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。
函数与极限测试题答案（一）
一、1、
11x
x
e
-+； 2、
11,
2
2a b ++⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
； 3、
4-； 4、0
；
二、1—4、DCBD
三、1
、解：原式lim
3x ==；
2、解：原式()()2
22211
2
11211lim 11x x x x x x e x -
++---→⎡⎤⎛⎫⎢⎥
--=+= ⎪⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭
⎣⎦
四、解：注意当4
2
x π
π
-
<<-
时，无意义，所以不存在,a b 的值使()f x 在
(),-∞+∞内连续。
此题应把“在(),-∞+∞内连续”改为“在0x =处连续”。
改后即要求()()0
lim 0x f x f b →==，此式等价于()()()0
lim lim 0x x f x f x f b +-
→→===，即 22220002ln 11121lim ln lim lim 211x x x x x x x x b x x x x x x +++
→→→-⎛
⎫+ ⎪-+-++⎝⎭===-=++++
()
330
ln 1ln 1lim lim tan sin x x ax ax x x
-
-
→→+
+=-
3
3
lim 4212
x ax a b x -
→====- 所以1,22
a b =-=-。
五、解：0,1x x ==-是此函数的间断点，因为0x -
→时，1x
→-∞，1
0x e e -∞
→=，
所以1101lim x
x
x x e e
e e e -→--=-，0x +
→时，又因为1x
→+∞，1
x
e e +∞→=+∞，1
10x
e →，所以1111
0111
lim lim 11
x
x
x x
x x x
x e e e
e e
e e
e
+
+-→→---==--，0x =是跳跃间断点。
因为111
1lim
1x
x x x
e e
e e
→---=-，1x =是可去间断点。
六、证明：因为()()()()()()()()()()()()
12343124123231312123123a x x x a x x x a x x x a x x x a a a a
x
x x x x x x x ---+--+--+--+
++=------ 分子是一个三次多项式，根据代数基本理论，分子最多有三个实的零点，即原方程最多有三
个实根；又因为31
240
lim 123x a a a a x x x x +→⎛⎫+++=+∞
⎪---⎝⎭
31241lim 123x a a a a x x x x -→⎛⎫+++=-∞ ⎪---⎝⎭，31
241lim 123x a a a a x x x x +→⎛⎫+++=+∞ ⎪---⎝⎭ 31242lim 123x a a a a x x x x -→⎛⎫+++=-∞ ⎪---⎝⎭，31242lim 123x a a a a x x x x +→⎛⎫+++=+∞ ⎪---⎝⎭ 31243lim 123x a a a a x x x x -→⎛⎫+++=-∞ ⎪---⎝⎭
，所以利用零点定理，在区间 ()()()0,1,1,2,2,3原方程分别至少有一个实根。
所以原方程有且仅有三个实根。
七、证明：在区间[],a b 上考虑函数()()()F x f x g x =-，由已知可得()F x 在[],a b 上连续。
()()()()()()0,0F a f a g a F b f b g b =-≤=-≥ 1）如果()0F a =或()0F b =，则ξ可取a 或b 。
2）如果()0F a <且()0F b >，由零点定理，至少存在一点(),a b ξ∈，使得()0F ξ=即
()()f g ξξ=。