题型一．求下列函数的极限二．求下列函数的定义域、值域三．判断函数的连续性，以及求它的间断点的类型内容一．函数1.函数的概念2.函数的性质——有界性、单调性、周期性、奇偶性3.复合函数4.基本初等函数与初等函数5.分段函数二．极限（一）数列的极限1.数列极限的定义2.收敛数列的基本性质3.数列收敛的准则（二）函数的极限1.函数在无穷大处的极限2.函数在有限点处的极限3.函数极限的性质4.极限的运算法则（三）无穷小量与无穷大量1.无穷小量2.无穷大量3.无穷小量的性质4.无穷小量的比较5.等价无穷小的替换原理三．函数的连续性x处连续的定义1.函数在点02.函数的间断点3.间断点的分类4.连续函数的运算5.闭区间上连续函数的性质例题详解题型I函数的概念与性质题型II求函数的极限（重点讨论未定式的极限）题型III求数列的极限题型IV已知极限，求待定参数、函数、函数值题型V无穷小的比较题型VI判断函数的连续性与间断点类型题型VII与闭区间上连续函数有关的命题证明自测题一一．填空题二．选择题三．解答题3月18日函数与极限练习题一．填空题1.若函数121)x (f x-⎪⎭⎫⎝⎛=，则______)x (f lim x =+∞→2.若函数1x 1x )x (f 2--=，则______)x (f lim _1x =→3. 设23,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________4. 设cos 0()0xx f x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ，则 (0)f = __________5.已知函数 20()1ax bx f x x x +<⎧=⎨+≥⎩，则(0)f 的值为 ( )(A) a b + (B) b a - (C) 1 (D) 2 6. 函数 3x 2x y --=的定义域是 ( ) (A) (2,)+∞ (B) [2,]+∞ (C) (,3)(3,)-∞+∞ (D) [2,3)(3,)+∞7. 已知 11()1f x x=- ，则 (2)f = __________8.y =+，其定义域为 __________ 9. 22x11x 1arcsin y -+-= 的定义域是 ______10. 考虑奇偶性，函数ln(y x = 为 ___________ 函数11.计算极限：（1） sin lim x xx →∞= _______；（2）711lim1x x x →-=- ______ （3）xx xx sin lim +∞→ = _______；（4）1253lim 22-+∞→n n n n = _______12.计算：（1）当 0x → 时，1cos x - 是比 x ______ 阶的无穷小量；（2）当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = ______；13.已知函数2,()1,f x x ⎧-⎪=-⎨11001x x x ≤--<<≤<，则1lim ()x f x →- 和 0lim ()x f x →( )(A) 都存在 (B) 都不存在(C) 第一个存在，第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在14. 设 232,0()2,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩ ，则 0lim ()x f x +→= ( ) (A) 2 (B) 0 (C) 1- (D) 2-15. 当 n →∞ 时，1sin n n是 ( )（A)无穷小量 (B) 无穷大量 (C) 无界变量 (D) 有界变量计算与应用题设 )(x f 在点 2x =处连续，且232,2(),x x x f x a ⎧-+⎪-⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩22=≠x x ，求 a求极限：20cos 1lim 2x x x →- 求极限： 121lim()21x x x x +→∞+- 求极限： 512lim43-+-∞→x x x x求极限：x x x 10)41(lim -→ 求极限：2x x )x 211(lim -∞→- 求极限：20cos 1lim xxx -→求极限： 2111lim()222n n →∞+++求极限：22lim(1)n n n →∞- 求极限：lim()1xx x x →∞+求极限 211lim ln x x x →- 求极限：201lim x x e x x →-- 求极限：21002lim(1)x xx +→∞+求极限： lim x →- 求极限：21lim()1x x x x →∞-+ 求极限： 3131lim()11x x x →---4月28日函数与极限练习题一．基础题 1.设函数,11)(1-=-x x ex f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 2． 下列极限正确的（ ）A ． sin lim1x x x →∞= B ． sin limsin x x xx x→∞-+不存在 C ． 1lim sin 1x x x →∞= D ． limarctan 2x x π→∞=3. 设()1sin (0)0(0)1sin (0)x x x x f x x a x x ⎧<⎪⎪=⎪=⎨⎪+>⎪⎪⎩且()0lim x f x →存在，则a = （ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2 4. 已知9)ax a x (lim xx =-+∞→，则=a ( )。
A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。
5. 极限：x11x lim 0x -+→=（ ）A.0；B.∞； C 21； D.2．6.极限：=+-∞→xx )1x 1x (lim ( ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7. 函数 22)1x (x y -=在区间 (0,1) 内 ( )(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不增不减 (D)有增有减 8. 4．若()02lim2x f x x→=，则()0lim3x xf x →= （ ） A ．3 B ．13 C ．2 D ．129.计算：lim 1xx x x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭2112lim 11x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝⎭ ()()()3100213297lim 31x x x x →∞-+=+n = 1201arcsin lim sin xx x e x x -→⎛⎫+= ⎪⎝⎭0lim x +→= __________ ；10.若函数2x 3x 1x y 22+--=，则它的间断点是___________________11.设 21,0()0,x e x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩ 在 0x =处________（是、否）连续二．综合题12.计算：求sin 32lim sin 23x x x x x →∞+-求()0lim 1cos x x x →- 求21lim sin cos xx x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 求0ln cos 2lim ln cos3x x x → 求02lim sin x x x e e x x x -→--- 求21lim ln 1x x x x →∞⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦求(lim 3x x →∞求()111lim xxx x e→⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦13. 设()fx 1,00x e a x x x -⎧+>⎪=<⎪⎩且()0lim x f x →存在，求a 的值。
14. 已知()22281lim 225x x mx x n x n →-+=-++，求常数,m n 的值。
15. 求111()111x x f x x x-+=--的间断点，并判别间断点的类型。
16.设()11,0()ln 1,10x e x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<≤⎩指出()f x 的间断点，并判断间断点的类型。
4月29日函数与极限练习题一．填空题1.极限：)(lim 2x x x x -+∞+→=（ ） A.0； B.∞； C.2； D. 21．2.极限: x x x x 2sin sin tan lim30-→=（ ） A.0； B.∞； C. 161； D.16．3.若()220l n1l i m 0s i n n x x x x →+=，且0sin lim 01cos n x xx →=-,则正整数n = 4.计算：极限12sinlim 2+∞→x xx x = lim→x xarctanx =___________=-∞→nn n)21(lim _________________5.若函数23122+--=x x x y ，则它的间断点是___________________6.已知极限22l i m ()0x x a x x→∞++=，则常数a 等于（ ）。
A -1 B 0 C 1 D 2 7.111l i m []1223(1)n n n →∞+++••+=_____ 21lim(1)x x x →∞-=______ 8.极限201lim cos 1x x e x →--等于（ ）。
A ∞B 2C 0D -29.当0x →+时，无穷小l n (1)A x α=+与无穷小s i n3x β=等价，则常数A=______10.若105l im 1,k nn e n --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭则k = 11.1201a r c s i n l i m s i n x x x e x x -→⎛⎫+= ⎪⎝⎭12.当0→x 时，为无穷小量的是（ ）．（A ）x 1sin（B ）x x 1sin （C ）xx sin （D ）x2 13.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=）（）（0024)(x k x xx x f 在0=x 处连续，则k 等于（ ）．（A ）4 （B ）41 （C ）2 （D ）21 14.设11)(--=x x x f ，则1=x 是函数的（ ）． （A ）连续点 （B ）可去间断点 （C ）跳跃间断点 （D ）无穷间断点．15.设函数21c o s 0,(),0.xx x f x k e x +≥⎧=⎨<⎩, 在1=x 处连续，则常数=a 16.l i m A x B x C x 13x C1x 32→∞++++=，则A =___，B =___，C =___． 17.=-+---→231lim22x x x x =+→xx x sec 22)cos 1(lim π ． =+-∞→xx xx )1(lim ． ．二．综合题18.计算极限：)323(lim 22-+→x x x x xx 3sin lim 0→ x x x x x -+-→22112lim x x x 2)41(lim -∞→ )11(lim 22--+∞→x x xx x x ）（31ln lim 0+→ a x →lim a x e e a x -- 30ta n s in l im x x xx →-222111l i m (1)(1)(1)23n n →∞---123lim ()21x x x x +→∞++ x → 19.设3214l i m 1x x a x x x →---++ 具有极限，求,a l 的值20.试确定常数a ，使得函数21sin0()0x x f x xa xx ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩ ，在(,)-∞+∞内连续4月30日函数与极限练习题一．选择题1.设函数2)(2+=x x f ，则)]([x f f 为（ ） （A ）4244x x ++ （B ）4246x x ++ （C ）4264x x ++ （D ）4226x x ++2.函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤+=2,sin 2,)1ln()(ππx x x x x f 则)4(πf 等于（ ）（A ）)41ln(π+（B ）22（C ）2π （D ）4π3.下列函数中是有界函数的是（ ）()x y x y C x x y x x y A arcsin D) ( 1log )( (B) 13)(222=+=+=++=4.当的是时 sin tan , 0x x x →（ ） 等价无穷小同阶非等价无穷小低阶无穷小高阶无穷小 (D) )( (B) )(C A5.函数()间断是因为点在点 0 0 x ,1x 10 x ,112=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤++=x xx f （ ）)0()( )( )(lin (C) (B) 0 x f(x) )( 0x f x f lin D x f A x ≠=→→不存在左极限不等于右极限无意义在点6.=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=→)(lim , 0 x 0,0 x ,1e (x)0xx f x f x 则设（ ）2 (D) 1- )( 0 (B) 1 ) (C A7.当下列函数为无穷小的是时, 0→x （ ）12 (D) x)sin(11 )( sin (B) x sinx )(2-++x x C x x A8.极限=--→9)3sin(lim 23x x x （ ）(A) 0 (B) 61(C) 1 (D) 319.=++∞→d bx n x a)1(lim （ ）(A) b e (B) e (C) abe (D) d ab e +10.=+-∞→nn n )111(lim （ ）(A) 1-e (B) e (C) 2-e (D) 2e11.极限==++-→a ,212)2(sin lim2则x x a x （ ）不存在(D) 0 )( 21(B) 2 ) (C A二．填空题1.()_________)2(_________,)4(,1 ,01 ,sin =-=⎪⎩⎪⎨⎧≥=ππf f x x x x f 。