第二章控制系统的数学模型习题及答案2-1 试建立下图所示各系统的微分方程。
其中电压u r（t）和位移x（t）为输入量；电压u c（t）和位移y（t）为输出量；R （电阻），C （电容），k （弹性系数），和f （阻尼系数），均为解：（a）应用复数阻抗概念可写出R i丄U r(s) c il(s) U c (s)R i cs(i )I(s)Uc(s)R2(2)2-2 试证明下图所示的力学系统（a）和电路系统（b）是相似系统（即有相同形式的数学模型）联立式（I）、（2），可解得:U c(s) R2(i R i Cs)U r (s) R i R2 R i R2CS微分方程为du c R R2du r1"dT CRR2Uc IT cR1Ur（b）如图解2-1（b）所示，取A,B两点分别进行受力分析。
对A点有k i(x x i) dy) （i）对B点有k2y (2)联立式（1）、（2）可得:dy k i k? k i dxdt f (k i k2)y k i k2 dt上1（蛊_尙）A B解：(a)取A 、B 两点分别进行受力分析，如图解所示。
对A 点有k 2(x y)f 2(x y)f i (y y i ) (1)对B 点有f i ( y y i ) k i y i(2)对式(i )、(2)分别取拉氏变换，消去中间变量 y i ，整理后得(b)由图可写出U c (s)整理得如果设R i k i ,R 2 i k 2,C i f i ,C 2 f 2,则两系统的传递函数相同，所以两系统是相似的。
U c (s)。
U r (s)Y(s) 口2s 2 I f f " k i k ?k i k ?(一 -)s i f i f 2s 2(f i k 2 f 2k i)sk ikX(s)(f if k ik 2护1f 2k if 2k 2)s k ikU r (s)R 2iC 2sR ii C i S i C isU c (s) U r (s)R iR 2C iC 2s 2(R i C iR 2C 2)s i2R iR 2C iC 2s(R i CiR 2C 2R-i C 2)s i比较两系统的传递函数,2-3 求下图所示各有源网络的传递函数(f i k 2位脉冲响应和传递函数。
解： c(0) 1,c(0) 0时，由 c(t) 3c(t) 2c(t) 2r(t)得 2s C(s) sc(0)c(0) 3sC(s) 3c(0) 2C(s)2R(s) 代入初始条件得：2〜、2 s 3s142C(s)s(s 1)(s 2) s s 1 s 2c(t) /鼻t2t1 4e 2e解: U c (s) U?(s)(b ) U c (s) R 2 C 2s (1R 1 C 1s)(1 R 2C 2s)U r (s)R 1 R 11 C 1s 1 C 1sR 1 C 2s(a)根据运算放大器“虚地”概念，可写出 1 (c) U c (s) R 2 C ~Cs R 2 *Cs R 2U r (s)R 1&(1 R 2CS )2-4 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 c(t) 1c 2t2ee t ，试求系统的单k(t) ■dc 也4e 2tdt(s)L[k(t)]3s 2 (s 1)(s 2)2-5系统传递函数C 廻 R(s) __ 2_s 23s试求初始条件为c(0) c(0) 0时系统在输入r(t)1(t)作用下的输出 c(t)。
2-6 飞机俯仰角控制系统结构图如图所示，试求闭环传递函数 Q c （S ）Q,S ）。
Q c (s)32Q r (s) s (0.90.7K)s (1.18 0.42K)s|亘］里曹叵］―叵］——-ri>—利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为C(s)G22G 3G 4R(s) 1 G 2G 3G 6 G 3G 4G 5G 1G 2G 3G 4G 7 G 1G 2G 3G 4G 82-8试用结构图等效变换法化简下图所示系统，并求各系统的传递函数 解：（a ）川：1 *G 毘 + 641 GSg皿G盹)|r-解: 经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数0.7(s 0.6) 0.68 2-7 已知系统方程组如下，试绘制系统结构图，并求闭环传递函数X i (s) X 2(s) X 3(s) C(s)G i (s)R(s) G i (s)G(s) G 8(S )]C(S )G 2(S )[X"S ) G 6(S )X 3(S )][X 2(s) C(s)G 5(s)]G 3(s) G 4(s)X 3(s)C(s) ----- oR(s)解:系统结构图如下:C(s) R(s)°C(s) G22G 3G 4R (s) 1 G 1G 2 G 3 G 4 G 2G 3G 1G 2G 3G 4C (s)G 1G 2G 3所以：旦「R(s) 1 G 1G 2 G 2 G 3 G 1G 2G 32-9试用梅逊增益公式求下图中各系统的闭环传递函数。
解：(a )图中有1条前向通路，4个回路P 1 G 1G 2G 3G 4， 11L 1G 2G 3H 1, L 2 G 1G 2G 3H 3, L 3 G 1G 2G 3G 4HL 4G 3G 4H 2，1 (L 1 L2 L3 L 4)C(s) P 1 1G 1G 2G 3G 4R(s)1 G 2G 3 H 1 G 1G 2G 3H 3 G 1G2 G 3G 4 H 4 G 3G 4H 2(b )图中有4条前向通路，5个回路P 1G 1， P 2 G 1G 2， P 3G 2, P 4G 2G 1，L 1G -i ，L 2G 1G 2， L 3G 2，L 4G 2G 1， L 5G 1G 2，1 2341，1 (L 1 L2 L3 L 4)，(b )=■1-<LM所以:C(s) G 1 G 2 R(s) 1 G 2H(c )=r-1 +口眄恥:,「aGf|U ；U 5 t — 4- C^j0^0-^所以:C(s) P1 1 P2 2 P3 3 P4 4G1G1G 2G 2G 2G12G1G 2G1G2 1 G1G1G 2G 2G 2G1G1G 2 1 G1G2 3G1G 2(c)图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路P1 G1G2G3, 1 1, P2 G4G3 ,2 1L1,L1G1G 2H -i，L 2 G 3H 2，L 3G 2 H3 ：1 1 (L1 L2 L3 ) L 1L 2,C(s)P1 1 P2 2 G1G 2G 3G 4G3 (1 G 1G2H1)R(s) 1 G1G 2H1G3H2 G2H3 G1G 2G3H1H2-10已知系统的结构图如下，图中R(s)为输入信号，N(s)为干扰信号，试求总输出C(s)。
令N(s) 0,求C©。
图中有2条前向通路,3个回路，有1对互不接触回路。
R(s)则有令R(s)P3C(s) N(s)C(s)2 1 L11 G2H,L1 G2H,L2G1G 2, L 3G1G 3,1 (L1 L2 L3) L1L3,C(s) P1 1 P2 2 G1G 2 G1G3 (1 G 2 H)R(s) 1 G 2H G1G 2G1G 3G1G 2G 3H0,求C(s) 。
有3条前向通路，回路不变。
N(s)P1 1， 1 1 L1，P2 G4G1G2， 2 1iP1 G1G2, 1 P2 G1G3,G 4G 1G3,P1 1L i，(L1 L2 L3) L1L3,P3 G 4G 1G 3(1 G 2 H)R( s)[G 1G 2 GG(11 G 2H G 4G1G 21 G 2H G1G 2G1G 3G1G 2G 3HG2H)] N(s)[ 1 G2H G 4G1G 2 G 4G 1G 3 (1 G 2H )] 1 G 2H G1G 2 G 1G 3 G 1G 2G 3H解：(a)(b )令 N,s)0 N 2(S ) 0，求C(s)。
图中有R(s)1条前向通路，1个回路。
P 1笃,11, L 12K(s s 21) 1 L 1,则有C(s)P 11KsR(S )(2K 1)s 2(K1)令 R(s) 0, N 2 (s)，求 C(s)N 1(S ) 。
图中有 1条前向通路，回路不变。
P 1 s ,11,则有C(S ) P 1 1s(s 2)N 1(S )(2K 1)s 2(K1)令 R(s) 0, N 1 (S )，求-C(s) 。
图中有 1条前向通路，回路不变。
N 2(S )竺,11则有 3 L2K S 2N 2(S )(2K 1)S 2(K1)ksR(s) s(s 2)2 (s) 2kN 2(s)(2k 1)s 2(k1)(c ) 令 N(s)0,求C(s) R(S )。
图中有 3条前向通路，2个回路。
P 1G 2G 4,11 , P 2G 3G 4,21 ,P 3 G 1G 2G 4 ,31,L 1G 2G 4,L 2 G 3G4,1J L 2),则有C(s)P 1 1 P 22P 3 3G 2G 4G 3G 4G 1G 2G 4R(S )1 G 2G 4 G 3G 4令R(s) 0 ,求-C^。
有1条前向通路，回路不变。
N(S )11,则有匸廻日_二LN (S )1 G 2G 4 G 3G 4R (S )[G 2G 4 G 3G 4 G 1G 2G 4] N (S )G 42-1 1P 1 G 4,C(s)1 G 2G 4G 3G 4Y G l(1 6H3)G4G3H3H2HG R1 G1H1G3H3 G1G2G3H1H2H 3G1H1G3H3。