+ 第二章控制系统的数学模型一．是非题1．惯性环节的输出量不能立即跟随输入量变化，存在时间上的延迟，这是由于环节的惯性造成的。
（√）2．比例环节又称放大环节，其输出量与输入量之间的关系为一种固定的比例关系。
（√）3．积分环节的输出量与输入量的积分成正比。
（√） 4．如果把在无穷远处和在零处的的极点考虑在内，而且还考虑到各个极点和零点的重复数，传递函数G （s ）的零点总数与其极点数不等 （×） 二． 选择题1．比例环节的传递函数为 （A ） A ．K B 。
K sC 。
τsD 。
以上都不是2．下面是t 的拉普拉斯变换的是 （B ） A ． 1SB 。
21S C 。
2S D 。
S 3．两个环节的传递函数分别为()1G s 和()2G s 则这两个环节相串联则总的传递函数是 （C ） A ．()()12G s G s + B 。
()12()G s G s - C ．()()12G s G s D 。
()()12G s G s4．两个环节的传递函数分别为()1G s 和()2G s 则这两个环节相并联则总的传递函数是 （A ） A ．()()12G s G s + B 。
()12()G s G s - C ．()()12G s G s D 。
()()12G s G s 三． 填空题1．典型环节由比例环节，惯性环节， 积分环节，微分环节，振荡环节，纯滞后环节 2．振荡环节的传递函数为2221ks s τζτ++3．212t 的拉普拉斯变换为31s4．建立数学模型有两种基本方法：机理分析法和实验辨识法四．计算题§2-1 数学模型1、 线性元部件、系统微分方程的建立 （1）L-R-C 网络 C r u R i dtdiL u +⋅+⋅= c i C u=⋅ c c c u u C R u C L +'⋅⋅+''⋅⋅=11c c c r R u u u u L LC LC'''∴++= ── 2阶线性定常微分方程 （2）弹簧—阻尼器机械位移系统 分析A 、B 点受力情况02B0A AA i 1x k )x xf()x x (k =-=-∴ 由 A 1A i 1x k )x x (k =- 解出012i A x k k x x -=2．试分别列写图2-4（a ）、（b ）所示无源网络的微分方程式（a ）U cC 2C 2i 2（b ）解： 对于图（a ）所示无源网络：根据电压平恒 方程式，有：12122111(1)(2)(3)(4)c r cR i dt C i i i u R iu R i u ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪=+⎪⎩⎰由1）式得： 2i =121di C di 5）把5）式代入2）式有：111di i i R C dt=+ 6） 又，由4）式，有：11r cu u i R -=将i1代入6）式，再代入3）式，有： ()]21111r c r c d u u u u Uc R R C R R dt -⎡-=+∙⎢⎣整理得：12212c r c r c du du R u R u R u R R C dtdt ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭ 即：()1212122c r c r du duR R CR R u R R C R u dt dt++=+ 上式即为图（a ）所示电路的微分方程式。
对于图（）所示无源网络，同样，可以列出如下电压 平衡方程组：1212212221)12)13)14)r c c i i i Ri Ri i dtC u i dt u C u Ri idtC =+⎧⎪⎪=+⎪⎪⎨=+⎪⎪⎪=+⎪⎩⎰⎰⎰由3）式得：215)c r du du i C dtdt ⎛⎫=-⎪⎝⎭由2）式得：122116)i i i dt RC =+⎰由6）式代入1）式有：12221127)i i i i i dt RC =+=+⎰又,由4)式有：221c du di R i dt dt C =+ =221222221112r d u d RC i i dt dt dt C RC ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ =()221112221221c r r r c d u d u c du RC C u u dtdt c dt RC C ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭整理得：()2222121222c c c r r r r c du d u du d u du RC R C C RC u u dt dtdt dt dt ⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()22121222c c cd u duR C C R C C u dt dt+++ =2212122r r r td u duR C C RC u dt d ++上式即为（b ）所示电路的微分方程式。
§2-2线性系统的微分方程一．已知f(t),求F(s)=?()1-t T111T1).f(t)1-eF s 11s s s s T T ==-=⎛⎫++ ⎪⎝⎭()22221s 0.122).f (t)0.03(1cos2t) F(s)0.03s s 2s s 2⎡⎤=-=-=⎢⎥++⎣⎦ s 15222250.866s 2.53).f (t)sin(5t ) F(s)e 3s 5s 5ππ+=+==++()0.4t 222s 0.4s 0.44).f (t)e cos12t F(s)s 0.8s 144.16s 0.412-++===++++ []05).f (t)t 11t t ⎡⎤=⋅--⎣⎦()()0t s0211t s e F s s--+=()()()223s 2s 86).F(s) f ? f(0)? f()1, f(0)0s s 2s 2s 4++=∞==∞==+++已知求 二．已知F(s),求f(t)=?()222s 5s 11).F(s) f(t)1cost-5sint s s 1-+==++()4t 24t s 2).F(s) f(t)cos(t 14)s 8s 17 e cost 4sint --==+++=-t 10t321119t 3).F(s) f(t)e e s 21s 120s 1008181--+==-+++()2-2t t23s 2s 84).F(s) f(t)1-2e e s s 2(24)s s -++==+⋅+++ ()()t 3t 2s 221315).F(s) f(t)(t )e e 32412s s 1s 3--+==-++++ 三．拉氏反变换 (1) 反变换公式：⎰∞+∞-=j j stds e ).s (F j 21)t (f σσπ (2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法) f(t),)a s (s 1)s (1.F 求例+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=++=a s 1s 1a 1)a s (s s -a)(s a 1)s (.F 解 []at e 1a1)t (f --=∴ 2：34s s 2s )s (F 2+++=求?)t (f =解：3s c1s c 3)1)(s (s 2s )s (F 21+++=+++=2131213)1)(s (s 2s )1s (lim c 1s III1=+-+-=++++=-→2113233)1)(s (s 2s )3s (lim c 3s III2=+-+-=++++=-→3s 211s 21)s (F +++=∴ 3t t e 21e 21)t (f --+=∴3：34s s 55s s )s (F 22++++= ，求?)t (f =解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法)3)1)(s (s 2s 134s s 2s 3)4s (s )s (F 22++++=++++++= 3t t e 21e 21)t ()t (f --++=∴δ4：j1s c j -1s c j)1j)(s -1(s 3s 22s s 3s )s (F 212++++=++++=+++=解法一：2j j2j)1j)(s -1(s 3s )j -1s (lim c j1s 1+=+++++=+-→2jj-2j)1j)(s -1(s 3s )j 1s (lim c j-1s 2-=++++++=-→j)t1(t )j 1(e 2jj -2e 2j j 2)t (f --+--+=∴ []jt-jt t e )j 2(e )j 2(e 2j 1--+=- （t cos j2e e ,t sin j 2e e jt jt jt jt =+=--- ） [])2sint cost (e j 4sint 2cost e 2j1t t+=+=-- 1)1s (21)1s (1s 1)1s (21s 1)1s (3s )s (F 2222++++++=++++=+++=t t e .2sint e .cost )t (f --+=∴虚位移定理解法二：)( sint .2e cost .e )t (f 11)(s 1211)(s 1s 11)(s 21s 11)(s 3s )s (F t t 22222222复位移定理--+=++++++=++++=+++=5 ： 3)(s 1)s(s 2s )s (F 2+++=求?)t (f =解：3s c s c 1s c 1)(s c )s (F 43122++++++=21)31)(1(213)(s 1)s(s 2s 1)(s lim c 221s IV2-=+--+-=++++=-→43)3(])3)[(2()3(lim 3)(s 1)s(s 2s 1)(s ds d limc 221221s IV1-=++++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=-→-→s s s s s s s s 323)(s 1)s(s 2s s.lim c 20s 3=+++=→1213)(s 1)s(s 2s 3).(s lim c 2-3s 4=++++=→ 3s 1.121s 1.321s 1.431)(s 1.21)s (F 2++++-+-=∴3t t t e 12132e 43te 21)t (f ---++--=∴四．用拉氏变换方法解微分方程 ● 例 ：u l l r l 222...=++⎪⎩⎪⎨⎧===1(t)(t)u 011r '(0)0）（初始条件：？求=)(1t 解：s2L(s)22s s L 2=++］：［ 2)2s s(s 2)s(s 22s s 2)2s s(s 2L(S)222+++++=++=－2221)1(11s s 122s 2s s 1++++=+++=s s －－ 22221)1(11)1(1s s 1+++++=s s －－ 1L l(t)1cos t cos t t t e e --=－：－－1Sin(t 45) t -=+ 121cos tcos t ttj e e λ--±⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩，特征根：＝－ 模态 举例说明拉氏变换的用途之一—解线性常微分方程，引出传函概念。