导数与不等式专题一1. （优质试题北京理18倒数第3大题，最值的直接应用） 已知函数。

⑴求的单调区间；⑵若对于任意的，都有≤，求的取值范围.解：⑴，令，当时，与的情况如下：所以，的单调递增区间是和：单调递减区间是， 当时，与的情况如下：所以，的单调递减区间是和：单调递增区间是。

⑵当时，因为11(1)k kf k ee++=>，所以不会有当时，由（Ⅰ）知在上的最大值是，所以等价于,解 综上：故当时，的取值范围是[，0].2()()x kf x x k e =-()f x (0,)x ∈+∞()f x 1ek 221()()xkf x x k e k'=-()0,f x x k '==±0k >()f x ()f x '()f x (,)k -∞-(,)k +∞(,)k k -0k <()f x ()f x '()f x (,)k -∞(,)k -+∞(,)k k -0k >1(0,),().x f x e ∀∈+∞≤0k <()f x (0,)+∞24()kf k e-=1(0,),()x f x e ∀∈+∞≤24()k f k e-=1e ≤10.2k -≤<1(0,),()xf x e ∀∈+∞≤k 12-2. （优质试题天津理20倒数第3大题，最值的直接应用，第3问带有小的处理技巧） 已知函数，其中.⑴若曲线在点处切线方程为,求函数的解析式； ⑵讨论函数的单调性；⑶若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围. 解：⑴，由导数的几何意义得，于是． 由切点在直线上可得，解得． 所以函数的解析式为． ⑵． 当时，显然(),这时在，上内是增函数． 当时，令，解得当变化时，，的变化情况如下表：＋ 0 － － 0 ＋↗极大值↘↘极小值↗∴在，内是增函数，在，内是减函数．⑶由⑵知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，()()0≠++=x b xa x x f Rb a ∈,()x f y =()()2,2f P 13+=x y ()x f ()x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ()10≤x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,41b 2()1af x x'=-(2)3f '=8a =-(2,(2))P f 31y x =+27b -+=9b =()f x 8()9f x x x=-+2()1af x x '=-0a ≤()0f x '>0x ≠()f x (,0)-∞(0,)+∞0a >()0f x '=x =x ()f x '()f x x (,-∞()+∞()f x '()f x ()f x (,-∞)+∞((0,)+∞()f x 1[,1]41()4f (1)f 1[,2]2a ∈不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立．从而得，所以满足条件的的取值范围是．3. （转换变量，作差） 已知函数. ⑴若，求的单调区间；⑵已知是的两个不同的极值点，且，若恒成立，求实数b 的取值范围。

解：⑴，或1 令，解得令，解得，的增区间为；减区间为，⑵，即由题意两根为，，又 且△，.设， 或 0(1)f x ≤1[,1]410(11(4)10)f f ≤≤⎧⎪⎨⎪⎩39449a b ab ≤-≤-⎧⎪⎨⎪⎩1[,2]2a ∈74b ≤b (7,]4-∞2()()x f x x a e =-3a =()f x 12,x x ()f x 1212||||x x x x +≥3233()32f a a a a b <+-+23,()(3)x a f x x e =∴=-2()(23)0x f x x x e '=+-=3x ⇒=-()0f x '>(,3)(1,)x ∈-∞-+∞()0f x '<(3,1)x ∈-()f x ∴(,3),(1,)-∞-+∞(3,1)-2()(2)0x f x x x a e '=+-=220x x a +-=12,x x 12122,x x x x a ∴+=-⋅=-1212||||x x x x +≥22a ∴-≤≤440a =+>12a ∴-<≤3223233()3()33()322a g a f a a a a a a e a a a =--+=---+2()3(1)(1)0a g a a a e a '=+--=⇒=0a =又，， ，.恒成立之分离常数4. （分离常数）已知函数(1) 若在处的切线平行于直线，求函数的单调区间； (2) 若，且对时，恒成立，求实数的取值范围.解: (1) 定义域为,直线的斜率为,,,.所以 由; 由所以函数的单调增区间为,减区间为. (0)0g =2(2)68g e =-2max ()68g a e =-268b e ∴>-()ln 1,.af x x a R x=+-∈()y f x =0(1,)P y 1y x =-+()y f x =0a >(0,2]x e ∈()0f x >a ()ln 1,.af x x a R x=+-∈)(x f ),0(+∞1y x =-+1-x x a x f 1)('2+-=11)1('-=+-=a f 2=∴a 22212)('xx x x x f -=+-=20)('>>x x f 得200)('<<<x x f 得()y f x =)2(∞+，(0,2)(2) ，且对时，恒成立,即(ln 1)a x x >-. 设.当时, , 当时, ,.所以当时,函数在上取到最大值,且 所以,所以所以实数的取值范围为. （法二）讨论法2()x af x x -'=，()f x 在(0,)a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数. 当a ≤2e 时，()f x ≥()1ln 10f a a =+->，解得1a >，∴1a <≤2e . 当2a e >时，()(2)ln(2)102af x f e e e>=+->，解得2ln 2a e >，∴2a e >. 综上1a >.5. （优质试题长春一模，恒成立，分离常数，二阶导数）已知函数,（其中R ,为自然对数的底数）.(1)当时,求曲线在处的切线方程；(2)当≥1时,若关于的不等式≥0恒成立,求实数的取值范围.解：（1）当时，,,,切线方程为．0a >(0,2]x e ∈()0f x >ln 10(0,2]ax x e x+->∈在恒成立]2,0(,ln )ln 1()(e x x x x x x x g ∈-=-=]2,0(,ln 1ln 1)('e x x x x g ∈-=--=10<<x 0)('>x g 为增函数)(x g e x 20≤<0)('<x g 为减函数)(x g 1=x )(x g ]2,0(e x ∈11ln 1)1(=-=g 1)(≤x g 1<a a ),1(+∞12)(2---=ax x e x f x∈a e 0=a )(x f y =))0(,0(f x x )(x f a 0=a 12)(2--=x e x f xx e x f x -=∴)('1)0(',0)0(==∴f f ∴x y =（2）[方法一]≥1,≥≤,设,则, 设,则,在上为增函数,≥,,在上为增函数, ≥,≤．[方法二], ,设,,≥0,≥0,在上为增函数,≥.又≥0恒成立,≥0,≤, ≥,,在上为增函数, 此时≥≥0恒成立,≤． 6. （两边取对数的技巧）设函数且）x 12)1()(2+--=x e x x xϕ0)1()('>-=x e x x ϕ)(x ϕ∴),1[+∞)(x ϕ∴021)1(>=ϕ012)1()('22>+--=∴x x e x x g xx x e x g x12)(2--=∴),1[+∞)(x g ∴23)1(-=e g a ∴23-e 12)(2---=ax x e x f xa x e x f x --=∴)('a x e x h x --=)(1)('-=x e x h x 1)('-=∴x e x h a x e x h x --=∴)(),1[+∞)(x h ∴a e h --=1)1(12)(2---=ax x e x f x23)1(--=∴a e f a ∴23-e )(x h ∴01)1(>--=a e h 0)('>--=∴a x e x f x 12)(2---=ax x e x f x),1[+∞)(x f 23)1(--=a e f a ∴23-e 1()(1(1)ln(1)f x x x x =>-++0x ≠22 1 2 ) 1 ( ) ( ' x x ex x g x + - - = x x e x g x1 2) ( 2 - -=xx e x 1 22 - - a ⇔ 0 1 2) ( 2 - - - = ∴ ax x e x f x（1）求的单调区间； （2）求的取值范围； （3）已知对任意恒成立，求实数的取值范围。

解：（1）,当时，即.当时，即或. 故函数的单调递增区间是. 函数的单调递减区间是. （2）由时，即，由（1）可知在上递增， 在递减，所以在区间（－1，0）上， 当时，取得极大值，即最大值为1(1)f e e --=-. 在区间上，.函数的取值范围为.分（3），两边取自然对数得7. （分离常数） 已知函数． ()f x ()f x 112(1)m x x +>+(1,0)x ∈-m 22ln(1)1'()(1)ln (1)x f x x x ++=-++∴'()0f x >1ln(1)10,11x x e -++<-<<-'()0f x <ln(1)10,0x x ++>>11e ->-0x >()f x 1(1,1)e ---()f x 1(1,0),(0,)e --+∞'()0f x =1ln(1)10,1x x e -++==-()f x 1(1,1)e ---1(1,0)e --11x e -=-()f x (0,)+∞()0f x >∴()f x (,)(0,)e -∞-+∞112(1)0,(1,0)m x x x +>+>∈-1ln 2ln(1)1m x x >++1ln ()xf x x+=（Ⅰ）若函数在区间其中a >0，上存在极值，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数k 的取值范围；解：（Ⅰ）因为， x >0，则，当时，；当时，．所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减， 所以函数在处取得极大值． 因为函数在区间（其中）上存在极值，所以 解得． （Ⅱ）不等式即为 记 所以 令，则，， 在上单调递增，，从而，故在上也单调递增， 所以，所以 ．8. （优质试题湖南，分离常数，构造函数）已知函数 对任意的恒有. ⑴证明：当⑵若对满足题设条件的任意b 、c ，不等式恒成立，求M 的最小值。