2021年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题一函数与导数不等式第2讲不等式问题练习一、填空题1.(xx·苏州调研)已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x （x ≥0），－x 2＋x （x ＜0），则不等式f (x 2－x ＋1)＜12的解集是________.解析 依题意得，函数f (x )是R 上的增函数，且f (3)＝12，因此不等式f (x 2－x ＋1)＜12等价于x 2－x ＋1＜3，即x 2－x －2＜0，由此解得－1＜x ＜2. 因此，不等式f (x 2－x ＋1)＜12的解集是(－1，2). 答案 (－1，2)2.若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值是________.解析 因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，所以m ，n ＞0，且m 3＋n4＝1，所以m 3·n 4≤2342m n ⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取“＝”，所以m 3·n 4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3. 答案 33.(xx·苏北四市模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是________. 解析 f (－a )＋f (a )≤2f (1)⇔⎩⎨⎧a ≥0，（－a ）2－2×（－a ）＋a 2＋2a ≤2×3或 ⎩⎨⎧a ＜0，（－a ）2＋2×（－a ）＋a 2－2a ≤2×3 即⎩⎨⎧a ≥0，a 2＋2a －3≤0或⎩⎨⎧a ＜0，a 2－2a －3≤0，解得0≤a ≤1，或－1≤a ＜0. 故－1≤a ≤1. 答案 [－1，1]4.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x ，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________.解析 当x ＞0时，由log 3x ≥1可得x ≥3，当x ≤0时，由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥1可得x ≤0，∴不等式f (x )≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞). 答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)5.(xx·南京、盐城模拟)若x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋2y －2≥0，x －y ＋1≥0，3x ＋y －6≤0，则x 2＋y 2的最小值是________.解析 不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，x 2＋y 2表示原点(0，0)到此区域内的点P (x ，y )的距离.显然该距离的最小值为原点到直线x ＋2y －2＝0的距离. 故最小值为|0＋0－2|12＋22＝255.答案2556.已知当x ＜0时，2x 2－mx ＋1＞0恒成立，则m 的取值范围为________. 解析 由2x 2－mx ＋1＞0，得mx ＜2x 2＋1， 因为x ＜0，所以m ＞2x 2＋1x ＝2x ＋1x.而2x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－2x ）＋1（－x ）≤－2（－2x ）×1（－x ）＝－2 2.当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取等号，所以m ＞－2 2. 答案 (－22，＋∞)7.设目标函数z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k .若z 的最大值为12，则z 的最小值为________.解析 作出不等式组所表示的可行域如图阴影所示，平移直线x ＋y ＝0，显然当直线过点A (k ，k )时，目标函数z ＝x ＋y 取得最大值，且最大值为k ＋k ＝12，则k ＝6，直线过点B 时目标函数z ＝x ＋y 取得最小值，点B 为直线x ＋2y ＝0与y ＝6的交点， 即B (－12，6)，所以z min ＝－12＋6＝－6. 答案 －68.(xx·泰州调研)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，则实数m的取值范围为________.解析 记t ＝x ＋2y ，由不等式恒成立可得m 2＋2m ＜t min . 因为2x ＋1y＝1，所以t ＝x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y.而x ＞0，y ＞0，所以4y x ＋xy ≥24yx·x y＝4(当且仅当4y x＝xy，即x ＝2y 时取等号). 所以t ＝4＋4y x ＋xy≥4＋4＝8，即t min ＝8.故m 2＋2m ＜8，即(m －2)(m ＋4)＜0.解得－4＜m ＜2. 答案 (－4，2) 二、解答题9.(xx·苏北四市调研)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度). (1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？解 (1)设扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x )＋2(10－x )，所以θ＝10＋2x 10＋x(0＜x＜10).(2)花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x )＝－x 2＋5x ＋50(0＜x ＜10).装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ， 所以花坛的面积与装饰总费用的比y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x＝－x 2－5x －5010（17＋x ），令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110⎝⎛⎭⎪⎫t ＋324t ≤310，当且仅当t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211.答：当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.10.已知函数f (x )＝2xx 2＋6. (1)若f (x )＞k 的解集为{x |x ＜－3，或x ＞－2}，求k 的值； (2)对任意x ＞0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围. 解 (1)f (x )＞k ⇔kx 2－2x ＋6k ＜0.由已知{x |x ＜－3，或x ＞－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3， －2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)因为x ＞0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号.由已知f (x )≤t 对任意x ＞0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞. 11.(1)解关于x 的不等式x 2－2mx ＋m ＋1＞0； (2)解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0.解 (1)原不等式对应方程的判别式Δ＝(－2m )2－4(m ＋1)＝4(m 2－m －1).当m 2－m －1＞0，即m ＞1＋52或m ＜1－52时，由于方程x 2－2mx ＋m ＋1＝0的两根是m ±m 2－m －1，所以原不等式的解集是{x |x ＜m －m 2－m －1，或x ＞m ＋m 2－m －1}；当Δ＝0，即m ＝1±52时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠m }；当Δ＜0，即1－52＜m ＜1＋52时，不等式的解集为R .综上，当m ＞1＋52或m ＜1－52时，不等式的解集为{x |x ＜m －m 2－m －1，或x ＞m＋m 2－m －1}；当m ＝1±52时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠m }；当1－52＜m＜1＋52时，不等式的解集为R .(2)原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.①当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.因为方程(x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a，所以当0＜a ＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2.②当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2，即原不等式的解集是{x |x ＞2}.③当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，由于1a ＜2，故原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞2. 综上，当a ＝0时不等式解集为(2，＋∞)；当0＜a ＜12时，不等式解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a ；当a ＝12时，不等式解集为∅；当a ＞12时，不等式解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2；当a ＜0时，不等式解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(2，＋∞).。