关于量子力学中态叠加原理的讨论关洪（中山大学物理系，广州 510275）摘要：讨论了量子力学中态叠加原理的意义。
评论了它的不同表述和解说，倾向于以简单明白的语言来叙述这一原理。
关键词：量子力学；态叠加原理1 引言读到喀兴林新近发表的文章《谈谈量子力学中的状态叠加原理》[1]，深受启发。
特别是我十分佩服他胜似后生的勇气，敢于在文章里表示“不赞成”狄拉克用光的偏振态叠加来对量子力学里态叠加原理的说明。
他的理由是：“量子力学中根本没有偏振这个概念。
用光的行为引入量子力学的基本原理，在物理上和逻辑上都是讲不通的。
”我觉得这段话说得很好，并且我没有看到过国内外其他作者发表过类似的意见。
我曾经特意查阅过狄拉克的《量子力学的基本原理》一书的前后各个版本。
在1930年第一版里[2]，第一章“态叠加原理”的第二节的标题就是“光子的偏振”，在这一节里已经有了那种讲法。
1935年狄拉克在这本书的第二版[3]里重写了第一章，其中第二节的标题仍然是“光子的偏振”，基本内容则改成了在后继的两个版本里我们看到的样子[4]。
后来，国内不少量子力学教材沿用了狄拉克的这种被当做“经典”的讲法。
25年前，我第一次讲量子力学课时，也跟着这样讲。
但是，我一边嘴上讲一边心里就觉得别扭，讲完之后想清楚了，这种论证与量子力学没有什么实质上的联系。
于是，在我后来讲的量子力学课和写的量子力学教材里[5]，都不用这种讲法了。
但是，我不曾把这一认识写到我的著作里。
这是因为，我曾经在不止一次会议上的发言引起个别听者的强烈排斥，他们的理由是狄拉克（或者爱因斯坦，或者泡利……）是不会错的，他说了的话是不容讨论的。
那么，我只好少说几句算了。
其实狄拉克这本书，尤其是第一章，确实存在一些毛病。
况且，他自己也承认有毛病。
我指的是在文献 [3] 或者 [4] 的第13页有一个脚注，承认正文里的一处陈述的成立是“有限制”的，亦即不是普遍成立的。
关于这个问题，我已经做过专门的论述[6-8]，不再在这里重复。
我十分欣赏狄拉克这种敢于公开承认自己的失误的态度。
文献 [1] 对几本国外的量子力学著名教材里对态叠加原理的表述文字进行了认真细致的分析。
而我在这里试图从另一个角度来谈这个问题。
我以为，不必使用诘屈拗口而不容易理解的语言来表达量子力学里的态叠加原理，如果使用简单明白的语言来表述，就会令教师和学生都省去不少麻烦。
下面还将对文献 [1] 提到的一些问题做些补充和讨论。
2 态叠加原理的实质我以为，量子力学里态叠加原理的实质是说：在量子力学里使用作为概率幅的态函数（波函数）ψ描写一个物理系统的状态。
（命题1）初看起来，命题1好像是一句“大实话”，其实它是有深刻含意的。
回顾在经典力学里，描写一个质点的状态，用的是它的坐标x和动量p。
而且，物理学里的运动方程就是描写物理系统状态随时间的变化的。
因此，经典力学里的基本运动方程（牛顿第二定律或者相对论里的相应方程）必定是坐标x或者动量p满足的方程。
那么，我们亦很自然地就会从命题1得出这样的推论：量子力学里的基本运动方程（薛定谔方程，或者狄拉克方程等等），是作为概率幅的态函数ψ 所满足的方程。
（命题2）所以，态叠加原理一开始就揭示了，量子力学的理论框架与经典力学根本不同。
即是说，量子力学里满足基本运动方程的不是像在经典物理学里那样的各种物理量，而是本身并非物理量的概率幅。
而且，经典物理学与量子力学的基本运动方程在形式上也稍有差别。
例如，在经典物理学里，有源的电磁场方程是非齐次的，只有自由传播的电磁场才满足齐次的微分方程。
然而，在常规的量子力学里，作为概率幅的态函数ψ 所满足的基本运动方程总是齐次的线性微分方程。
（命题3）我很高兴看到文献 [1] 这样肯定了类似的陈述：“状态叠加原理的物理叠加型表述，在某种意义上可以说是‘薛定谔方程……是线性微分方程’这句话的物理诠释和直接推论。
”大家知道，齐次线性微分方程的解具有可叠加性。
亦即是说，这种方程的两个（或更多个）解的叠加，仍然满足原来的方程。
具体说来，如果ψ1是和ψ 2都是方程的解，那么它们的叠加ψ1 +ψ 2 或者c1ψ1 +c2ψ 2 ，必定也是同一方程的解。
于是，以上由浅入深，或者说由抽象到具体的三个命题，都可以看做是态叠加原理的表述。
一句话，态叠加原理实际上说的是：在量子力学里，满足叠加规则的是作为概率幅的态函数ψ 。
这句话亦道出了量子力学与经典力学的本质差别。
关于量子力学里态叠加原理的一种清楚明白的表述，是费曼首先提出来的。
费曼早就强调：“在量子力学里概率的概念没有改变”，“变化了而且剧烈地变化了的是计算概率的方法。
”[9]他指的是在量子力学里一般使用概率幅叠加的规则，而不是在经典物理学里的概率叠加规则。
而且，在文献 [9] 和他的《物理学讲义》第三卷 [10] 里阐述量子力学的基本原理时，都是从电子的双缝衍射引出概率幅叠加规则开始的。
3 关于态叠加原理的“第二种表述”在有些量子力学教材里，表达了与上一节里的某个命题相同的内容，不再明白地提到态叠加原理这个话题，这种讲法也是可以行得通的。
例如，文献 [1] 指出，席夫的《量子力学》就是这样。
可是，有更多的量子力学教材里，却试图使用一些意义含混的文字来表述态叠加原理，这样做不但没有什么好处，而且很容易落到“画蛇添足”的尴尬境地。
在这一节我们剖析一下这方面的一个种讲法。
文献 [1] 的第二节“第二种表述”里，先引述了狄拉克和朗道关于态叠加原理的类似的两种有关表述。
为了便于讨论，我们在这里扼要复述文献 [1] 所引用的一段朗道的《量子力学》里的话：“设在波函数为ψ1的态中进行某种测量，可以获得可靠的肯定结果1，而在ψ2的态中进行这种测量可以获得可靠的肯定结果2。
那么可以假定，在ψ1和ψ2的任一线性组合所给出的态中，即在任一具有c1ψ1＋c2ψ2函数形式的态中，进行该种测量所得结果或者是1，或者是2……以上这些假定，构成了量子力学的一个首要原理，称为态叠加原理。
”首先应该指出，这段话是不对的，或者说这种陈述是不是普遍成立的。
要说明这一点，举一个反例就够了。
我们先仿照上面的说明，设在波函数为ψ1的态中进行某种测量，可以获得可靠的肯定结果a≠0。
然后，再选ψ2= -ψ1，在ψ2的态中进行测量，当然也获得同样的肯定结果a。
现在我们做一个组合ψ1＋ψ2 = ψ1 - ψ1 = 0。
（相当于在组合式里取ψ2= ψ1，c1＝1，c2＝－1）那么，在这个叠加态里，测量到的肯定不是在ψ1态和ψ2态的相同结果a，而是0！所以，这种“第二种表述”说轻一点是不得要领，说重一点就是文不对题了。
出问题的原因在于这种表述没有反映出量子力学里概率幅干涉的特征，遇到上面举出的发生严重相消干涉的情况就完全失灵了。
因此，我们说这种“第二种表述”不得要领或者文不对题，是指它没有反映出量子力学的特征，实际上讲的是经典物理学里也存在着的规则。
举一个例子就明白了。
设有一束电磁波A，携带着一台电视广播a的信号；又有另一束电磁波 B，携带着另一台电视广播b的信号。
那么，当这两束电磁波传到同一地点而叠加时，可以收到的电视广播就必定或者是a，或者是b。
这明明是经典物理学，不是量子力学！所以，这种不得要领的话，高谈阔论不如少说为妙。
我以为，脱离了概率幅的概念是讲不清楚态叠加原理的。
狄拉克的书的第一章在引入概率幅之前讲态叠加原理，肯定是不合适的。
结果，就真的出了上面提到过的，他要在脚注里更正的毛病。
这个毛病也由于狄拉克的有关说法没有反映出概率幅的干涉性质。
[参看文献5-7]4 关于“数学叠加型的态叠加原理”文献 [1] 提出，在量子力学里有两种不同的态叠加原理，一种是“物理叠加型”的，另一种是“数学叠加型”的。
这两种类型的叠加的区别在于前者叠加的各个态函数，都是同一道薛定谔方程的解，或者说是对应于用同一个哈密顿算符描写的物理系统；而后者则不受此限，纯粹是一种数学上的叠加或者分解。
并且，文献 [1] 认为，“数学叠加型”的态叠加原理，“是在真实的物理状态中各个物理量取值的规律，这是一个新的规律，是量子力学的又一个基本原理。
”那么，按照这种分法，在第二节里讲的命题，都是“物理叠加型”的态叠加原理。
下面我们对所谓“数学叠加型”的态叠加原理做一点分析，说明它正是普通的态叠加原理、即所谓“物理叠加型”的态叠加原理，加上量子力学的其他基本假设所得出的结果。
首先，按照量子力学的一条基本假设，用一个自伴算符（或者马虎一点说，厄米算符）描写一个动力学变量。
由这种算符的数学性质，我们知道它的本征函数组是正交且完备的，可以做任意态函数展开的基。
用公式表示，算符F的本征值方程是Fφn= λn φn式中的φn是归一化的本征函数，λn是相应的本征值。
由于φn构成一组完备基，任意态函数ψ就可以用这组基来展开以上纯粹是数学问题。
量子力学还有一条基本假设，即所谓“平均值公设”。
它可以将在状态ψ 中对F 进行多次测量所得到的平均值表示为如下内积那么，将前面两式代入到这道内积公式里，就可以推导出于是，ψ 展开式里的系数 c n的绝对值平方，就可解释为测量 F得到值 λn的概率。
或者说，c n也是一种概率幅。
事实上，在算符F取对角形式的表象里，这一组c n就构成了矩阵形式的态函数。
本来，以上的推导在教科书里都有，在这里写出来是为了看清楚一些。
前面的ψ 展开式完全是一道数学式子，到这一步没有任何物理意义。
但是，下面的“平均值公设”就引入了物理内容，实际上它是量子力学基本假设里面唯一一条将理论与经验联系起来的命题。
于是我们就得出了这样的结论：上述概率幅ψ 的展开式里的各项，或者各项的系数c n也是一种概率幅。
这实际上就是说概率幅的这种叠加是有物理意义的，而这种物理意义同原来（“物理叠加型”）的态叠加原理是分不开的。
或者可以换一种思路说，在量子力学里任何函数都可以用一套正交完备基展开，但只有概率幅的展开才具有上面所说的物理意义。
举一个经典物理学的例子。
任何连续性不太差的函数都可以做傅立叶展开，但不是任何函数的傅立叶展开都是有意义的。
例如，对光信号或者电磁波信号的振幅做傅立叶展开，能够得到很有意义的频谱分布。
可是，虽然这些信号的强度也可以做傅立叶展开，但那是没有任何意义的。
那正是因为，电磁波的振幅即电场或者磁场是满足叠加原理的缘故。
因此，我们认为，文献 [1] 说的“数学叠加型”的态叠加原理，其实是本来意义的态叠加原理同量子力学的其他基本假设相结合的推论，不是一条独立的基本原理。
作者感谢阮东教授在提供资料上的帮助。
参考文献：[1] 喀兴林，，大学物理，2006，25(8): 1-5,15[2] Dirac P A M, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press,1930[3] Dirac P A M, The Principles of Quantum Mechanics, second edition, OxfordUniversity Press, 1935[4] Dirac P A M, The Principles of Quantum Mechanics, fourth edition, OxfordUniversity Press, 1958[5] 关洪，《量子力学基础》，北京：高等教育出版社，1999[6] 关洪, 关于态叠加原理, 大学物理，1988，(10): 1-4[7] 关洪, 《量子力学的基本概念》, 北京：高等教育出版社, 1990，[8] 关洪，再谈态叠加原理，大学物理，2000，19(8): 21-24[9] Feynamn R P, Hibbs A R, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill, 1965, p.2；这里复述的原话是费曼1951年在一次会议上讲的。