区一中椭圆、双曲线测试题
、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.）
1、下列说法中正确的是（）
A、一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B、“a”与“ a c b c ”不等价
2 2 2 2
C、“a2・b2=O,则a,b全为0 ”的逆否命题是若a, b全不为0,则a2 b-- 0 ”
D、一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
2、已知M （—2, 0）, N （2, 0）, |PM| —|PN|=4 ,则动点P 的轨迹是：（）
A、双曲线
B、双曲线左支
C、一条射线
D、双曲线右支
3、已知椭圆
2 2
—1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为
25 16
3 ,则P到另一焦点距离为
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
4、双曲线:
2
2 y 1
x 1
的渐近线方程和离心率分别是
1 厂
3匕心3
D.
5、已知椭圆的中心在原点,焦点在X轴上，且长轴长为12 , 离心率为-,则椭圆的方程
3
2 2
A x y “A. + =1
2
B.Z
36
2
+ L=1
20
2
x
C. +
2
32
2 2
x y “
D. + =1
32 36
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分.）
11 .椭圆x 2 +4y 2
=4的离心率为 ______________
12 .双曲线的两焦点分别为 F 1（£,0）, F 2（3,0）,若a=2,则b= _________
2 2 2 2
13 .对于椭圆 — —=1和双曲线 —=1有下列命题:
16 9 7 9
①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点；②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点 ;
③双曲线与椭圆共焦点；
④椭圆与双曲线有两个顶点相同
其中正确命题的序号是 _______________ .
2 2
k 3是方程—
L 3 —k k —1
=1表示双曲线的（）条件。

A.充分但不必要
B 充要
C.必要但不充分
D.既不充分也不必要
2
2
7、椭圆x - my
=1的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（
1
B.-
2
x 2
y 2
& 如图：已知椭圆—+ ；= 1(a >b >0)的焦点分别为 F 1、F ?, b =
C . 2
4,离心率为 3
.过F 1的直线交椭圆于 A 、B 两点，则厶ABF 2的周长
5
A . 10
B . 12
C . 16
D . 20
F 1PF 2的面积是（
X 2 v y
)
=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足PR PF 2=0,则
A.1
c.、.3
D.2
2 2
10 .双曲线一2
2
a b
（a 0 , b 0）的左、右焦点分别是 F , F 2 ,过F 1作倾斜角为 30的直线交双曲线右支于
M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为
（）
A . .6
.3
C. .. 2
14•若椭圆X2F宀1的离心率为i3，则它的长半轴长为三、解答题。

2
15. （12分）求双曲线x
- 1的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线
4
方程，并作出草图。

1 16 . （12分）已知椭圆的中心在原点，焦点为R（0, -
2 , F2 （0 , 2 ）,且离心率e ,求
4 椭圆的标准方程•
兰匚=1共焦点，且以y'x为渐近线，求双曲线方
17 . (13分)已知双曲线与椭圆
49 24 3
程.
2 2
x y
18 (13分过椭圆1内一点M (2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直
16 4
19、（14分）已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为
F（「3,0），右顶点为D（2,0），设点A 1,-.
I 2丿
（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
20、（16分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1,F2在坐标轴上，离心率为2且过点
（4, - 而――I - i
（1）求双曲线方程（2）若点M（3, m）在双曲线上，求证MF1 MF2^0
（3）求F1MF2的面积
答案
、11、一 12、、5
13、0)② 14、匕或2
2
、15、顶点坐标：(-1 , 0),( 1,0); 焦点坐标：(5
, 0),( ' 5
,0)
实半轴长：1;
虚半轴长：2 ; 渐近线方程：y= _ 2X (图略)
2 2 所以椭圆标准方程为
x y
1
64 60
2 2
［解析］:由椭圆--1= c=5 .
49 24
2 2
设双曲线方程为 笃-爲=1,
a b
18、 解：设所求直线的方程为y'rMx-2
),
代入椭圆方程并整理,得(4芒彷2-8(2
疋-小讯冰-仔-16
".
设直线与椭圆的交点为
A(X 1
，%) , B(X
2
, y 2
)，则X 1
，X 2是直线方程的两根，
8(2k 2
—k)
X 1 X 2
—
于是
4k 1 .又M 为AB 的中点，
X 1 X 2 _4(2k^k)
J
■ i
2
2
4k 1 ，解得 2 .故所求直线的方程为X
• 2y
_ 4 = 0
.
19、 (1)由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距c= 3
,则半短轴b=1.
2
又椭圆的焦点在X 轴上，••椭圆的标准方程为 —■ y^1
16、设椭圆标准方程为
2
X
—
a
=1
1 2 1
依题意有
C=2，而e
所以 二―
4 a 4
得 a=8 所以 b 2 =a
2
-C 2 =60
17 .
二
5 2
- 4-32 ■
- b -+
2
b - a a
►Hu
贝
2
16
故所求双曲线方程为
4 ⑵设线段PA的中点为M(x,y)，点P的坐标是(x0,y0),
则 M(3, ■ 3
)而 F 1 (-2.3 , 0)
F 2 (
2 3
, 0)
所以
MF 1 2
=24 12 3
MF 2 MF J 2
+ |MF 22
= F 1F 22
所以
(3)由(2
)得 F 1MF
2 是
Rt . ■:
2
=24 -12 3
MF1 — MF2
2 2
证=(2c) =48 得 MF 1 MF 2 = 0
所以FMF 2的面积为
2y — 2
2
由，点P 在椭圆上，得
（2X
一1
） （2 y
M 的轨迹方程是（x -丄）2
• 4（y -丄）
2 4
20、（1）由
2 2
-a b
x=
■<
2x —
1
y=
X 0 =
y o =
所以此双曲线为等轴双曲线 ,其渐近线为
y 二 X
当 x=0 时,y=-4
-.10
所以双曲线焦点在 x 轴
2
设双曲线标准方程为
x
2
-
2
爲=1,则有
16 2 _10
.1
.2 1
(2)
(1)
2
,2
得a 二b
1
)2
=1. ••线段PA 中点 解(1 )、( 2)式得 a
2
= b 2
= 6
所以双曲线标准方程为
2 2
0亠1
6 6
（2）由点M （3
，m ）在双曲线上知 32
~2 a 2
器二1解得
1 1 ___________________ _________ 1 -MF “ ・MF
2 =^J24+12V5 ・J24—12^
3 =^714
4 = 6 1
S= 2。