圆锥曲线测试题一、选择题（共12题，每题5分）2 21已知椭圆二11（a 5）的两个焦点为F I、F2 ,且∣F1F2∣=8 ,弦a 25AB过点F i ,则△ ABF2的周长为（）（A）10 （B）20 （C） 2 -41（D） 4 412 22椭圆丄丄J上的点P到它的左准线的距离是10，那么点P 100 36到它的右焦点的距离是（）（A）15 （B）12 （C）10 （D） 82 23椭圆—y 1的焦点F1、F2 ,P为椭圆上的一点，已知PF^ PF2，25 9则厶F1PF2的面积为（）（A）9 （B）12 （C）10 （D）84以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（）（A）X2-y2=2 （B）y2-x2=2（C）X2- y2= 4 或y2 _ X2= 4 （D）X2 -y2 = 2或y2 -X2 = 22 25双曲线--y 1右支点上的一点P到右焦点的距离为2,则P16 9点到左准线的距离为（）（A） 6 （B）8 （C）10 （D）126过双曲线X2—y2 =8的右焦点F2有一条弦PQ ∣PQ∣=7,F 1是左焦点，那么△ F1PQ的周长为（）（A）28 （B）14-8、2 （C）14 8 2 （D）8 27双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F1、F2, ∙F1MF2 =120 ,则双曲线的离心率为（）（A）3（B）兰（C）H （D）三2 3 328在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为,2 ,焦点到相应准线的距离为1 ,则该双曲线的离心率为（）(A) — ( B) 2( C) 2 ( D) 2 222 29如果椭圆2L L "的弦被点(4 , 2)平分，则这条弦所在的直 36 9 线方程是( )(A ) X — 2y =O ( B ) X 2y — 4 =0 ( C ) 2x 3y - 12 =0 ( D ) x 2y — 8 = 0那么点P 到y 轴的距离是（）π:(0,2)，π (0,—] 4 2 3y2=1 a 0,b 0的右焦点为F ,过F 且斜率为(A)(B)竽(C) 2」6(D) 2 311中心在原点，焦点在 y 轴的椭圆方程是 2 2X Sin l " y cos ： -1 ，则C 的离心率为（ )w.w.w.k.s.5.u.c.o. mA 、6B 、 7C 、5D 、 55895二 _填空题（20)■3的直线交C 于A 、B 两点，若AF =4FB , 102如果双曲线-42y 2=1上一点P 到双曲线右焦点的距离是 2,A.π (0,—)4BD. [J) 4 212 已知双曲线(Z,F )则 (2 213与椭圆Z 丄=1具有相同的离心率且过点(2, - 3 )的椭圆的43标准方程是是 __________________ 。

2 215以知F 是双曲线—=1的左焦点，A(1,4), P 是双曲线右支上的412动点，贝S PF I +∣ PA 的最小值为 __________________2 216已知双曲线x 2-^2 =1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为a bFC G O), F 2(c,O),若双曲线上存在一点P 使Sin PFIF^a,则该双曲线Sin PF 2F 1 C的离心率的取值范围是 _________ .三、解答题(70)17)已知椭圆C 的焦点F 1 (— 242 , 0)和F 2 (2迈,0),长轴 长6,设直线y=χ 2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点 坐标。

2 218)已知双曲线与椭圆 -y 1共焦点，它们的离心率之和为92514'求双曲线方程.19)求两条渐近线为X — 2y =0且截直线X - y - 3 = 0所得弦长为 的双曲线方程。

20 . (1)椭圆C:a2 ⅛=1(a > b > 0)上的点A(1,号)到两焦点的距离 之和为4,求椭圆的方程；O14离心率-T ，一条准线为-3的椭圆的标准方程83 3(2)设K是⑴中椭圆上的动点，F1是左焦点，求线段F1K的中点的轨迹方程；⑶已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都 存在并记为k PM 、k PN 时，那么k pM ∙k pN 是与点P 位置无关的定值。

试对双曲线 ⅛ -⅛ -i写出具有类似特性的性质，加以证明。

解：(i)24 ∙ Ji(2)设中点为(X,y), F i (-i,o) K(-2-X,-y)在刍 与詔上- *i⑶设 M(x ι,y ι), N(-x ι,-y ι), P(x o ,y o ) , X o≠xι为定值。

没有交点。

(2)过点P ( i ，2)的直线交双曲线于 A 、B 两点，若P 为弦 AB 的中点，求直线AB 的方程；2 2X 2 y(X 2)2--2则y θ =b 2(4-i)22 2 X iyi(a ∑ -i)kPM kPNy o —yi y o y i 2 2 y o —yi b£)aX o -X i X o X i2 2 X o —Xi2 2 X o —Xi21 (1)当k 为何值时， 直线I 与双曲线有一个交点， 两个交点，(3)是否存在直线I，使Q (1, 1)为1被双曲线所截弦的中点。

若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。

解：(1)当直线I的斜率不存在时，I的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当I的斜率存在时，设直线I的方程为y —2=k(x - 1),代入 C 的方程，并整理得(2 —k2)x2+2(k2-2k)x —k2+4k —6=0(*) ()当2 —k2=0,即k= ±、2时，方程(*)有一个根，I与C有一个交占∕ΛJ八、、・(i)当2 —k2≠0,即k ≠±2 时Δ= :2(k2—2k) ] 2—4(2 —k2)( —k2+4k —6)=16(3 —2k)①当△ =0,即3 —2k=0,k= I时，方程(*)有一个实根，I与C有一个交占I ∕ΛJ八、、・②当△>0,即k V号,又k≠±2 ,故当k v—2或一2 V k v 2 或2 V k V I时，方程(*)有两不等实根，I与C有两个交点.③当Δv 0，即k > I时，方程(*)无解，I与C无交点.综上知：当k= ±'∙ 2 ,或k= 1，或k不存在时，I与C只有一2个交占.I 八、、)当、2 V k V -,或一,2 V k V .2 ,或k V—2时，I与C有两个2交点；当k> 3时，I与C没有交点.2(2)假设以P为中点的弦为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2xι2—yι2=2,2x 2—y22=2 两式相减得：2(xι—x2)(x1+x2)=(y ι—y2)(y1+y2)又Tχ1+x2=2,y 1+y2=4 ∙'∙2(xι —X2)=y1 —yι即k AB=Xγι=1X i —X2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与有交点，所以以P为中点的弦为：y=x+1.(3)假设以Q为中点的弦存在，设为AB,且A(xι,y ι),B(x 2,y 2)，贝U 2x i2—yι2=2,2x 22—y∑2=2 两式相减得：2(x 1 —X2)(x 1+x2)=(y 1 —y2)(y 1+y2)又τ x1+x2=2,y 1+y2=2 二2(x 1 —x2)=y 1 —y1 即k AB= y1 一y2 =2X1 _ X2但渐近线斜率为±,2,结合图形知直线AB与C无交点，故假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在2 213)与椭圆L y=1具有相同的离心率且过点4 32 2 o 2 .2的标准方程是D 1或空.竺i 。

8 6 25255 20 解:设双曲线方程为χ2-4y 2= •.22C联立方程组得:X -4yR ,消去y 得，3χ2-24x+(36+ )=0X _ y _3 = O设直线被双曲线截得的弦为AB,且A(x ι,yJ ,B( X 2,y 2)，那么：X 1 +X 2 =836 + λ<X1X2=——I32.：=24 -12(36) 0那么：|AB|= J (l +k 2)[(x 1 +X 2)2-4χ1x 2] =J (1+1)(82 -=^812^ =竽2解得：=4,所以，所求双曲线方程是：^-y 2=1417) 已知椭圆C 的焦点F 1 (- 2/2 , 0)和F 2 ( 242 , 0),长轴长 6,设直线y=χ∙2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。

(8分)解：由已知条件得椭圆的焦点在 X 轴上,其中c=2.2,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:2 2Z + y 2=1.联立方程组 行y,消去y 得，10X 2 +36X + 27 = 0.9[ y = x+2设 A( χ1y ),B( X 2,y 2 ),AB 线段的中点为 M( x °,y ° )则: 18x 1 +x 2 9 为 X2一亏，χo= 丁 1 所以y 0 =χ0+2=1.也就是说线段AB 中点坐标为(--,1).55 52, - 3)的椭圆14)离心率「于一条准线为X = 3的椭圆的标准方程是 9y * 2 *第11页共8页2 218) 已知双曲线与椭圆 H 1共焦点，它们的离心率之和为9 25匕，求双曲线方程.(10分) 5解:由于椭圆焦点为F(0, _4),离心率为e=4 5,所以双曲线的焦点5为F(0, -4),离心率为2,从而 c=4,a=2,b=2 .3.2 2所以求双曲线方程为:Z-Z=1.4 1220)求两条渐近线为x-2y=0且截直线x-y-3=0所得弦长为 竽 的双曲线方程。

(10分)。