圆锥曲线基础测试题一、选择题（ 60 ）1已知椭圆125222yax )5(a的两个焦点为1F 、2F ，且8||21F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（）（A ）10 （B ）20 （C ）241（D ）4142椭圆13610022yx 上的点P 到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是（）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）83椭圆192522yx的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ，则△21PF F 的面积为（）（A ）9 （B ）12 （C ）10 （D ）84以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（）（A ）222y x （B ）222x y （C ）422y x 或422xy （D ）222yx或222xy5双曲线191622yx右支点上的一点P 到右焦点的距离为2，则P 点到左准线的距离为（）（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）126过双曲线822yx 的右焦点F 2有一条弦PQ ，|PQ|=7,F 1是左焦点，那么△F 1PQ 的周长为（）（A ）28 （B ）2814（C ）2814（D ）287双曲线虚轴上的一个端点为M,两个焦点为F 1、F 2，12021MF F ，则双曲线的离心率为（）（A ）3（B ）26（C ）36（D ）338在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为( C ) A 、22B 、2C 、2D 、229 如果椭圆193622yx的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（）（A ）02y x （B ）042yx（C ）01232yx（D ）082yx10 如果双曲线22142xy上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是（A）A 、463B 、263C 、26D 、2311 中心在原点，焦点在y 轴的椭圆方程是22sin cos 1x y ，(0,)2，则（）A ．(0,)4B．(0,]4C ．(,)42D ．[,)4212 已知双曲线222210,0xy C a bab：的右焦点为F ,过F 且斜率为3的直线交C于A B 、两点，若4AFFB ,则C 的离心率为（A）A 、65B 、75C 、58D 、95二、填空题（ 20）13 与椭圆22143xy具有相同的离心率且过点（2，-3）的椭圆的标准方程是。

14 离心率35e ，一条准线为3x 的椭圆的标准方程是。

15 以知F 是双曲线221412xy的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA 的最小值为916已知双曲线22221(0,0)x y a bab的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c ，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F a PF F c，则该双曲线的离心率的取值范围是(1,21)e ．三、解答题（ 70 ）17) 已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6，设直线2xy 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。

18) 已知双曲线与椭圆125922yx共焦点，它们的离心率之和为514，求双曲线方程.19)求两条渐近线为02y x 且截直线03y x 所得弦长为338的双曲线方程。

20．(1)椭圆C:12222by ax (a ＞b ＞0)上的点A(1,23)到两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程;(2)设K 是(1)中椭圆上的动点, F1是左焦点, 求线段F 1K 的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点,当直线PM 、PN 的斜率都存在并记为k PM 、k PN 时，那么PN PMk k 是与点P 位置无关的定值。

试对双曲线12222b y a x 写出具有类似特性的性质，并加以证明。

解：(1)13422y x (2)设中点为(x,y), F 1(-1,0) K(-2-x,-y)在13422y x 上134)2(22y x(3)设M(x 1,y 1), N(-x1,-y 1), P(xo ,y o ), xo≠x 1则)1(22122ax ob y)1(221221ax b y2221202212022120212010101010)(ab x x b x x y y x x y y x x y y PNPM a x x k k 为定值.21. 已知双曲线方程为2222yx与点P(1,2),（1）求过点P （1，2）的直线l 的斜率k 的取值范围，使直线与双曲线有一个交点，两个交点，没有交点。

(2)过点P （1，2）的直线交双曲线于A 、B 两点，若P 为弦AB 的中点，求直线AB 的方程；（3）是否存在直线l ，使Q （1，1）为l 被双曲线所截弦的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k(x －1),代入C 的方程，并整理得(2－k 2)x 2+2(k 2－2k)x －k 2+4k －6=0 (*)(ⅰ)当2－k 2=0,即k=±2时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点(ⅱ)当2－k 2≠0,即k ≠±2时Δ=［2(k 2－2k)］2－4(2－k 2)(－k 2+4k －6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即3－2k=0,k=23时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点.②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜23时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点.③当Δ＜0，即k ＞23时，方程(*)无解，l 与C 无交点.综上知：当k=±2,或k=23，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点；当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，l 与C 有两个交点；当k ＞23时，l 与C 没有交点.（2）假设以P 为中点的弦为AB ，且A(x 1,y 1),B(x2,y 2)，则2x 12－y 12=2,2x 22－y 22=2两式相减得：2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2)又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=4 ∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1即k AB =2121x x y y =1但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与有交点，所以以P 为中点的弦为：1x y.(3)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则2x 12－y 12=2,2x 22－y 22=2两式相减得：2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2)又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2 ∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1 即k AB =2121x x y y =2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在.13)与椭圆22143xy 具有相同的离心率且过点（2，-3）的椭圆的标准方程是22186xy或223412525yx。

14）离心率35e，一条准线为3x 的椭圆的标准方程是2291520xy。

17) 已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6，设直线2xy 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。

(8分)解:由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:2219xy.联立方程组22192xy yx,消去y 得, 21036270xx .设A(11,x y ),B(22,x y ),AB 线段的中点为M(00,x y )那么: 12185x x ,0x =12925x x所以0y =0x +2=15.也就是说线段AB 中点坐标为(-95,15).18) 已知双曲线与椭圆125922yx共焦点，它们的离心率之和为514，求双曲线方程.(10分)解:由于椭圆焦点为F(0,4),离心率为e=45,所以双曲线的焦点为F(0,4),离心率为2,从而c=4,a=2,b=23.所以求双曲线方程为:221412yx.20)求两条渐近线为02yx 且截直线03y x 所得弦长为338的双曲线方程。

(10分)解:设双曲线方程为x 2-4y 2=.联立方程组得:22x -4y =30xy ,消去y 得，3x 2-24x+(36+)=0设直线被双曲线截得的弦为AB ，且A(11,x y ),B(22,x y )，那么：1212283632412(36)0x x x x 那么：|AB|=2221212368(12)83(1)[()4](11)(84)333k x x x x 解得: =4,所以，所求双曲线方程是：2214xy。