xdx
即 ex sin xdx 1 ex (sin x cos x) C.
2
自己总结
EXE cos(ln x)dx
sinax
lnx
(1)
Pn ( x)cosaxdx ；(2) eax
Pn( x)arcsinx dx ；
arctanx
(3)
eax
s inbx cosbxdx
2014年12月03日
预习 P172-P184 定积分的积分法
P186-P189 作业 P175 1(1, 2, 4, 5, 8, 9, 11, 12),
2(1, 2, 5, 8), 3(2, 3, 4, 5),
P185 1(3, 4, 5, 6, 7, 9, 10), 2(2, 3, 4, 6, 7)
思考：设
f
(x)
sin x
x
，求
x
f
( x)dx
.
求
(2
x2 x2
)2
dx
,
x
dx , x2 x 1
sin 2x dx ． 1 cos2 x
4. 分部积分法 xe xdx
乘积微分公式的逆运算
Thm 设函数 uu(x) ， vv(x) 可微，则
udv uv vdu ．
分部积分的关键是正确选取 u 和 dv ，其选取原则是：
，
其中 Pn( x) 为多项式．
提醒：有时在 f ( x)dx 中，也可用分部积分求解．
此时，可选取 u f (x) ， dvdx ．
例 13
讨论：设
f
(
x)
sinx x
，求
x
f
(
x)dx
．
f ( x)
x cos x sin x2
x
，
f
(
x)
(2
x2
)sin x x3
2x
cos
x
．
xxf
2
2
所以有，时原，式仅用e分x部ar积cta分n未ex 必 x能解12 决ln(问1 题e2x ) C ．
例 10 x2 sin x ln x dx 拆开后再求
例 11 ln x 1 x2 dx
被积函数是一个表达式时，有时分部积分也奏效．
例 12 ex sin x dx
？：怎样选取 u 和 v
2
2x
倒代换 x1 适用以下各种不定积分： t
x
1 dx, x2 a2
x2
1 dx, x2 a2
x
2 a x4
2
dx,
x
1
dx,
ax2 bxc
a
2 x4
x
2
dx,
x2
1
dx.
ax2 bxc
例
10．求
1 x
1 x dx x
解：令
1 x x
t
，
x
t
1 2 1
，
则
dx
(t
2t 2 1)2
dt
，
1 x
udv uv vdu ．
10 u sin x, v dx exdx 20 u ex , dv sin xdx
例 12 e x sinxdx
u sin x, v dx e xdx
解： e xsinxdxsinxd(e x ) e xsinxe xd(sinx)
从一个积e x分sin式x出发e x，co经sxd过x分部e x积sin分x后c又os回xd到(e了x )
1 x x
dx
2
t
t
2
2
dt 1
2(1
t
1 2 1
)dt
2t 2 t 211dt
2tln t 1 C t 1
2 1 x ln x
1 x 1 x C.
1 x 1 x
例 11.求
1 dx 1e x
解：令 1e x t ，e x t 2 1 ，
xln(t 2 1) ，dx t 22t 1dt ，则
1 1e
(2)
1
In
sinn
dx x
(n N , n 2) ．
（三）倒代换
例 16．求
x
dx 3x2 2x1
解：令
x
x 1,dx t
dx 3x2 2x1
1 t2
dt
1 t
.
1 t2
dt
3 t2
2 t
1
dt 32t t 2
d(t 1) 22 (t 1)2
arcsint 1C.arcsinx1C.
(1) v 要容易求出 ； (2) vdu 要比 udv 容易积出．
udv uvvdu ．
例 8 (1) x cos xdx ； (2) x2 cos xdx ；
关键： 降幂
(3) x2 ln xdx ．
例 9
arctan e x e x dx
例 9
arctan e x e x dx
arctan e xd(e x )
e
x
arctan
ex
e xd(arctan e x )
讨论：
xeex x
ex 2
adrxctan
e
x
x
ex
12d1e(e2 xxd) x，2
xd
ex 2
而
1 1 e2x dx
令t
ex
11
1 t2
dt t
1 t
1
t
t

2
dt
ln | t | 1 ln(1 t 2 ) C x 1 ln(1 e2x ) C
原积分 e，x s但in系x 数[e不x c同os。x 此时ex只d(c要os移x)项] ，像选解取方u程那co样s x ？
求解就e能x s解inx出所e x求co的sx积分e x．si这nx题dx属“转轱辘型”
所以
2
e
x
sin
xdx
e
x
sin
x
e
也可以选择
xucosexx , dCv1
， sin
f(x(
)x
)ddxx
(2
xd (
fx2()xsi)n)xx2
x2fx
c(oxs x)
dx
f ( x)dx
sin
xdx
2
x cos
x x2
sin
x
dx
cos x 2 f (x)dx
cos x 2 f ( x) C cos x- 2sin x C x
例 14 求证递推公式：
(1) In sinn xdx (n N ) ；
x
dx
1 t
t
22t 1dt
2
t
211dt
2 t1
1e x 1
ln C ln
C.
2 t1
1e x 1