第六章 连续信号的复频域分析在复频域分析方法中，用复指数信号e st作为基本信号，将系统的输入信号分解为复指数信号的叠加，然后同样根据线性时不变系统的特性求解系统的输出响应，并进一步分析系统的性能。

连续信号和系统的复频域分析是基于另外一种数学工具，即拉普拉斯变换。

本章首先介绍连续信号的拉普拉斯变换及反变换，下一章介绍连续系统的复频域分析。

6.1 基本要求1．基本要求♦ 掌握双边和单边拉普拉斯变换的定义；♦ 了解拉普拉斯变换的零极点及收敛域；♦ 掌握单边拉普拉斯变换的性质；♦ 熟练掌握单边拉普拉斯反变换的两种典型方法；♦ 了解信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。

2．重点和难点♦ 单边拉普拉斯变换的性质♦ 单边拉普拉斯反变换6.2 知识要点1．拉普拉斯变换的定义（1）双边拉普拉斯变换及反变换⎰∞∞--=t t f s F st d e )()( （6-1）⎰∞+∞-=σσs s F t f st d e )(πj 21)( （6-2） （2）单边拉普拉斯变换及反变换 ⎰∞--=0d e )()(t t f s F st （6-3） 0,d e )(πj 21)(≥=⎰∞+∞-t s s F t f st σσ （6-4）信号的拉氏变换是信号的复频域描述（复频域表达式），对这些定义说明如下几点：（1）式（6-3）中积分下限取为0- 是考虑到信号f (t )中可能会含有δ(t )。

如果给定信号中没有δ(t )，计算时可以将积分下限设为0。

（2）拉氏反变换的定义只需做一般了解，实际求反变换时，一般不用该定义直接计算。

（3）注意到式（6-2）和式（6-4）的区别，说明单边拉氏反变换的结果都为因果信号。

（4）本课程重点掌握单边拉氏变换的定义、性质及反变换。

2．拉普拉斯变换的零极点和收敛域信号的拉普拉斯变换一般都是有理分式，可以表示为11011)()()(a s a s b s b s b s D s N s F n n n m m m m ++++++==---- 令F (s )的分子多项式N (s )=0，可以得到一系列根z i （i = 1，2，…，m ）。

当s = z i 时，F (s )=0，因此将这些根称为F (s )的零点。

同样，令F (s )的分母多项式D (s )=0，可以得到一系列根p j （j = 1，2，…，n ），称为F (s )的极点。

[s ]平面是一个复平面，其上每个点都代表s 的一个取值。

在[s ]平面上分别用“ ”和“⨯”将所有的零点和极点表示出来，称为信号拉氏变换的零极点图。

为使信号f (t )的拉普拉斯变换F (s )存在所允许的σ = Re[s ]的取值范围称为该信号的拉普拉斯变换的收敛域。

显然，收敛域实质上就是函数F (s )的定义域，并且该定义域只与其复数自变量s 的实部有关，因此在s 平面上表现为这样一个连续的区域，该区域以平行于虚轴的直线为边界。

3．典型信号的拉氏变换（1）δ(t )↔1（2）t n e -at u (t ) ↔ 1)(!++n a s n 根据这一对拉氏变换还可以得到单边指数信号、单位阶跃信号、单位斜变信号等的拉氏变换。

（3）e -at cos ω0tu (t ) ↔202)(ω+++a s a s e -at sin ω0tu (t ) ↔2020)(ωω++a s当a =0时，由以上两对变换得到正弦信号和余弦信号的拉氏变换。

4．单边拉氏变换的性质教材P.148表6.2.1总结了单边拉氏变换的常用性质。

学习这部分内容时需要密切注意与傅里叶变换各性质的区别和联系，特别是大多数性质都有附加条件。

具体再总结如下：（1） 大多数性质中所涉及到的信号都必须是因果信号。

（2） 时移性质：t 0>0；尺度变换性质：a >0。

（3） 终值定理要求F (s )的所有极点中，最多只有一个极点等于零（位于[s ]平面的坐标原点），其余极点实部都必须小于零（位于左半平面2、3象限）。

4．单边拉氏反变换单边拉氏反变换是已知信号的复频域表达式求信号的时域表达式，反变换结果一定都为因果信号。

（1）部分分式展开法如果F (s )为有理真分式，直接根据其极点进行部分分式展开，得到的每项部分分式都具有如下标准形式，即ii p s K )(- （6-5）相应的反变换为)(e )!1(1t u t i K pt i i -- （6-6）如果F (s )为有理假分式，先通过长除法变为F (s )＝F 1(s )＋F 2 (s )其中F 1(s )和F 2 (s )分别为s 的多项式和有理真分式。

对其中的有理真分式F 2 (s )，按上述方法求其对应的反变换；而对其中的多项式F 1(s )，每项反变换结果为K i δ(i )(t )。

最后将所有项的反变换结果相叠加得到总的反变换结果。

（2）留数法（反演积分法）对F (s )中每个各不相同的极点求出其对应的留数，即[]p s str r r p s F p s s r =----=e )()(d d )!1(1Res 11（6-7）式中，r 为极点p 的重数。

将所有极点的留数相加后再乘以u (t )即得到反变换结果。

如果已知的F (s )为假分式，也必须先通过长除法分解一个真分式和一个多项式之和，对其中的真分式才能用留数法。

不管是留数法还是部分分式展开法，反变换时都要注意充分利用性质以简化计算。

5．LT 与FT 的关系信号的拉普拉斯变换（LT ）与其傅里叶变换（FT ）之间的关系，根据F (s )极点在[s]平面上的位置总结为三种情况：（1）如果F (s )的极点都在右半平面，则信号f (t )不存在傅里叶变换；（2）如果F (s )的极点都在左半平面，则信号f (t )一定存在傅里叶变换F (j ω)，并且ωωj )()j (==s s F F （6-8）（3）如果F (s )有N 个极点在虚轴上（即为纯虚数或者0），其余极点都在左半平面，则∑==+=Ni i i s K s F F 1j )-(π)()j (ωωδωω （6-9）其中，ωi 为第i 个虚轴上的极点的虚部，K i 为对应这个极点的部分分式的系数。

6.3 补充例题例6-1 分别用定义求图6-1所示各信号的单边和双边拉氏变换。

图6-1 例6-1图解 （1）双边拉氏变换：01101e e 1e e 2()()e d e d (-1)e d s s s s st st stF s f t t t t s s s --∞----∞---+-==+=-=--⎰⎰⎰单边拉氏变换：100e 1e 1()()e d (-1)e d s s st stF s f t t t s s ---∞----===-=-⎰⎰ （2）双边拉氏变换：10e 1e 1()()e d (-1)e d s s st st F s f t t t s s --∞---∞--===-=-⎰⎰单边拉氏变换：100e 1e 1()()e d (-1)e d s s st stF s f t t t s s ---∞----===-=-⎰⎰（3）双边拉氏变换： 011e e 1()()e d e d s s st st F s f t t t s s ∞---∞---====-⎰⎰ 单边拉氏变换：00()()e d 0e d 0st st F s f t t t --∞∞--==⋅=⎰⎰说明：根据时间波形，信号分为因果信号、反因果信号和双边信号三种；而根据定义，拉氏变换分为单边拉氏变换和双边拉氏变换。

任何一种信号都可以根据要求求得其单边或双边拉氏变换。

但是，对于不同的信号，两种拉氏变换之间的关系各有不同，总结如下：（1）双边信号和反因果信号的单边和双边拉氏变换一定不相同；（2）因果信号的单边和双边拉氏变换一定相等； （3）反因果信号的单边拉氏变换一定都为零。

由于实际系统分析中大多是因果信号，因此这里只要求掌握单边拉氏变换。

例6-2 已知某信号拉氏变换的零极点图如图6-2所示，并且F (0)=-2，求F (s )。

解 由零极点图可知F (s )共有两个极点p 1=-1+j ，p 2=-1-j ，两个零点z 1=-1，z 2=1，则可设 22(1)(1)(1)()(1j)(1j)22K s s K s F s s s s s +--==+-++++令上式中s =0，代入已知条件得到(0)22K F -==-图6-2 例6-2图由此求得K =4，则224(1)()22s F s s s -=++ 说明：零极点图给出了一个信号拉氏变换的所有零极点。

如果已知一个信号的拉氏变换，可以根据定义求得其所有零极点，并画出零极点图。

反之，如果已知了零极点图，可以完全确定一个信号的拉氏变换，最多差一个常数（如本例中的K ）。

例6-3 已知信号f (t )的时间波形如图6-3（a ）所示。

（1）画出f 1(t )=f (2t -4)的时间波形；（2）用定义求f (t )的单边拉氏变换F (s )；（3）用性质求f 1(t )的单边拉氏变换F 1(s )。

图6-3 例6-3图 解 （1）先将f (t )压缩一半得到f (2t )的波形如图6-3（b ）所示，再将其右移2得到f 1(t )=f (2t -4)的时间波形如图6-3（c ）所示。

（2）根据定义得到22000221()()e d e d de 1(21)e st st st s F s f t t t t t s s s -∞----===--+=⎰⎰⎰（3）由时移性质和尺度变换性质得到--212122(1)e ()()e e 22b ss s a s s F s F s--+== 例6-4 用性质求图6-3（a ）所示信号的单边拉氏变换。

解 将f (t )求一阶导数得到f 1(t )=f '(t )=f 2(t )-2δ(t -2)，其中f 2(t )=g 2(t -1)。

将f 2(t )再求一阶导数得到f 3(t )=f 2'(t )。

f 1(t )和f 3(t )的波形分别如图6-4（a ）和（b ）所示。

f 3(t )0 2 t 1(b)(b)-1 (a) (b) (c)图6-4 例6-4图因为3()()(2)f t t t δδ=--，则由时移性质和线性性质得到23()1e s F s -=-因为(1)23()()f t f t -=，并且f 3(t )为因果信号，则由时域积分性质得到232()1e ()sF s F s s s--== 因为f 1(t )=f '(t )=f 2(t )-2δ(t -2)，则由时移性质和线性性质得到2222121e 1()()2e 2e [1(21)e ]s ss s F s F s s s s-----=-=-=-+ 因为f 1(t )为因果信号，并且(1)12()()f t f t -=，最后由时域积分性质得到212()1()[1(21)e ]s F s F s s s s -==-+ 例6-5 利用性质求下列信号的拉氏变换。