4.4.1 竖向集中力作用下的土中应力计算
法国数学家布西奈斯克 (J.Boussinesq)1885 年 给 出 了弹性力学的解答。
土中应力计算
α是的(r/z)函数，可制成表 格查用。见表4-1。
4.4.2 竖向分布荷载作用下土中应力计算
土中应力计算
若在半无限土体表面作用一分
布荷载p(x,y) 。为了计算土中某
2
l
2 -l 2
b
2
-
b 2
dd
5/2
(
b 2
-
)2
(l 2
-)2
z2
2p
4.2.2 成层土体时
cz
W1 W2 F
1h1 2h2
F
F in
ihi
i 1
4.2.3 土层中有地下水时
土中应力计算
若地下水位以下的土受到水 的浮力作用，则水下部分土的 容重应按浮容重计算，其计算 方法如同成层土的情况。
4.2.4 水平向自重应力计算
cx cy K0 cz
1. 空间问题
土中应力计算
若作用的荷载是分布在有限面积范围 内，那么从公式(4.17)知道，土中应力是 与计算点的空间坐标(x,y,z)有关，这类解 均属空间问题。
(1) 圆形面积上作用均布荷载时， 土中竖向应力的计算
圆形面积上作用均布荷载P0，计算土 中任一点M的竖向应力。
设圆形荷载面积的半径为r0，以圆形荷载的中心点为坐标原点O。并在荷
p F G A
土中应力计算
Pm a x
min
FG A
2.偏心荷载作用时
Pm a x
min
FG A
M W
F G (1 6e)
A
l
根据偏心距e的大小，基底压力的分布可能 出现下述三种情况：
土中应力计算
根据偏心荷载和基底反力相等平衡，荷载合力通 过三角形反力分布图的形心，则可求得：
pm ax
2(F G) 3b(l/2 - e)
4.3.2 基底压力分布的分析
基础
根据EI 的大小
柔性基础 刚性基础
有限刚度基础
土中应力计算
4.4 地基附加应力的计算
土中应力计算
地基中的附加应力是由建筑物荷载在土中引起的应力增量，通过土粒 之间的传递，向水平与深度方向扩散，如图4.10所示集中应力作用于地面 处，图左半部分表示各深度处水平面上各点垂直应力大小，图右半部分为 各深度处的垂直应力大小，可以看出，随着水平距离与深度的增加附加应 力逐渐减小。附加应力的存在，会引起地基产生变形，导致沉降。
中深度处竖向应力值。
将坐标原点取在矩形面积的中点处=，确
定x,y,z轴的方向，由公式(4.17)解得：
Z
A
d z
3z3
2
A
dQ R5
3z3
2
A(
p(x, y)dd
3z3 p
(x - )2 (y -)2 z2 )5 2
l
2 -l 2
b 2
dd
-b 2
(
2 2 z2 )5
2p
例题4.1 某成层土层，其物理 性质指标如图4.5所示，计算土 中自重应力并绘制分布图。
土中应力计算
4.3 基础底面的压力分布与计算
土中应力计算
作用在地基表面的各种分布荷载，都是通过建筑物的基础 传到地基中的，在基础底面和地基之间存在接触应力，称基础 底面传递给地基表面的压力为基底压力，计算地基应力首先要 计算基底压力。
点M(x,y,z)的竖应力值，可以在
基底范围内取元素面积 dA dd
，作用在元素面积上的分布荷载
可以用集中力dQ表示。这时土中
M点的竖应力值可以用公式(4.16)
在基底面积范围内进行积分求得
，即:
Z
A
d z
3z3
2
A
dQ R5
3z3
2
A(
p(x, y)dd (x - )2 (y -)2 z2 )5
2mn 1 n2 8m2 1 n2 4m2 1 4m2 n2 4m2
arctan 2m
1
n n2
4m2
0
p
2) 矩形面积角点下土中竖向应力计算 求出图中均布荷载P0作用下，矩形
面积角点C下深度z处N点的竖向应力。 利用公式(4.17)解得：
土中应力计算
z
A
d z
3z3 p
第四章 土中交通荷载或其他因 素的作用下，均可产生土中 应力。和材料力学中所研究 的受力体(梁、板、柱)一样， 土体受力后也要产生应力和 变形。土中应力将引起地基 发生沉降、倾斜变形甚至破 坏等，如果地基变形过大， 将会危及建筑物的安全和正 常使用。
载面积上取元素面积 dA rdrd ，以集中力 dQ p0dA P0rdrd
代替微面积上的分布荷载，那么可以由公式(4.17)在圆面积范围内积分求得
值。
计算土中任一点的竖向应力 ：
土中应力计算
z
A
d z
3 p0 z3
2
2 0
r0 0
(r2
l2
rdrd - 2r/cos
z2 )5/2
c p0
同理，可以计算圆形面积中点下任何深度处的附加应力 ：
z
A
d z
3 p0z3
2
2 0
r0 0
rdrd
(r2 z2 )5/2
r p0
(2)矩形面积上作用均布荷载时土中竖向应 力计算
土中应力计算
1) 矩形面积中点下土中竖向应力计算
在矩形面积表面作用均布荷载P0，假设矩形 截面的长边为l，短边为b，求矩形面积中点下土
几种常见的基础底面形状及分布荷载
土中应力计算
作用时，土中应力的计算公式
圆形面积上作用均布荷载时
中点下
空间问题 矩形面积上作用均布荷载时 角点下
竖向分布荷载 作用下，土中 应力计算
任一点 矩形面积上作用三角形分布荷载时
均布线性荷载作用时
平面问题
任一点竖向应力
均布条形荷载作用时
任一点主应力
三角形分布条形荷 载作用时
土中应力计算
4.2 土的自重应力计算
土中应力计算
由于土体本身重力引起的应力称为自重应力。自重应力 是在外部荷载作用前存在于地基中的初始应力，一般自土体 形成之日起就产生于土中。
4.2.1 均匀土体时
cz
W F
zF
F
z
自重应力随深度线性增加， 呈三角形分布图形，并且在任 何一个水平面上，其自重应力 大小相等。
计算基底压力的目的，是为了计算地基中的附加压力。在 地基计算中，一般采用简化的方法，即在中心荷载作用下，假 定地基压力为均布分布；偏心荷载作用下，假定压力分布为直 线变化，也即按材料力学公式计算。
4.3.1 基底压力简化计算方法 1.中心荷载作用时
作用在基底上的荷载合力 通过基底形心，基底压力假定 为均匀分布(图4.6)，平均压力 设计值(kPa)可按下式计算：